Доказать, что если в треугольнике авс медиана ам в два раза меньше стороны вс, то угол а — прямой.

Раз АМ - медиана, то BM = MC и так как BC = 2AM, то BM = MC = AM, а это не что иное, как радиусы описанной окружности с центром в т. М, BC - диаметр, ∠А - опирается на диаметр и равен 180°/2 = 90°,т.е. ∠А - прямой.

Объяснение: Так как МА=МВ=МС (дано), треугольники ВМА и СМА равнобедренные.

Пусть в треугольнике ВМА углы МВА=МАВ=α. Тогда угол СМА, как внешний угол ∆ ВМА равен сумме не смежных с ним внутренних углов 2α (теорема), а ∠МСА +∠САМ=180°-2α (из суммы углов треугольника), и каждый из них (180°-2α):2=90°-α.

Поэтому угол ВАС=∠САМ+∠МАВ=90°-альфа+альфа=90°. Доказано.