Длина ребра кубка ABCDA1B1C1D1 равна 2а, точка P середина отрезка BC. Найти : a) расстояние между серединами отрезков B1D и AP; б) угол между прямыми B1D и AP; в) угол между прямой D1 P и плоскостью AA1B1

Для начала, давайте разберемся с рисунком. У вас есть куб ABCDA1B1C1D1, где все стороны куба равны 2а. Точка P - середина отрезка BC. а) Чтобы найти расстояние между серединами отрезков B1D и AP, мы можем использовать теорему Пифагора. Обозначим середины отрезков B1D и AP как M и N соответственно. Расстояние между двумя точками можно найти по формуле: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) Для нашего случая, давайте найдем координаты точек M и N. Координаты точки M: x = (x1 + x2)/2 y = (y1 + y2)/2 z = (z1 + z2)/2 Для отрезка B1D, как уже сказано, B1 (-а, -а, -а) и D (а, -а, -а) Тогда xM = (-а + а)/2 = 0 yM = (-a - a)/2 = -а zM = (-а - а)/2 = -а Теперь найдем координаты точки N. Координаты точки P: P (0, -а, 0), так как это середина отрезка BC. Координаты точки N: x = (0 + 0)/2 = 0 y = (-а + 0)/2 = -а/2 z = (0 + 0)/2 = 0 Теперь, используя формулу расстояния между двумя точками, найдем расстояние d между точками M и N: d = √((xM - xN)^2 + (yM - yN)^2 + (zM - zN)^2) = √((0 - 0)^2 + (-а - (-а/2))^2 + (-а - 0)^2) = √(0 + (-а + а/2)^2 + (-а)^2) = √(0 + (-(2а)/2 + а/2)^2 + а^2) = √(0 + (-а/2)^2 + а^2) = √(a^2/4 + а^2) = √(а^2(1/4 + 1)) = √(5/4 * а^2) = (а/2) * √5 Итак, расстояние между серединами отрезков B1D и AP равно (а/2) * √5. б) Теперь давайте найдем угол между прямыми B1D и AP. Для этого нам понадобится понятие скалярного произведения векторов. Если у нас есть векторы a = (x1, y1, z1) и b = (x2, y2, z2), то скалярное произведение между ними вычисляется по формуле: a · b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2 Если векторы a и b перпендикулярны (то есть их скалярное произведение равно 0), то угол между ними будет 90 градусов. Для прямых B1D и AP мы можем найти два вектора и проверить, равно ли их скалярное произведение нулю. Если это так, то угол между прямыми будет 90 градусов. Вектор B1D: B1 (-а, -а, -а) и D (а, -а, -а) xB1D = а - (-а) = 2а yB1D = -а - (-а) = 0 zB1D = -а - (-а) = 0 Вектор AP: A (а, а, а) и P (0, -а, 0) xAP = 0 - а = -а yAP = -а - а = -2а zAP = 0 - а = -а Теперь найдем скалярное произведение векторов B1D и AP: xB1D * xAP + yB1D * yAP + zB1D * zAP = (2а * -а) + (0 * -2а) + (0 * -а) = -2а^2 + 0 - 0 = -2а^2 Как мы видим, скалярное произведение векторов B1D и AP равно -2а^2, которое не является нулем. Это означает, что угол между прямыми B1D и AP не равен 90 градусам. в) Наконец, нам нужно найти угол между прямой D1P и плоскостью AA1B1. Для этого мы можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямой и плоскостью. Угол между прямой и плоскостью определяется через скалярное произведение векторов. У нас есть векторы u = (x1, y1, z1) и v = (x2, y2, z2), определяющие прямую D1P и нормальную к плоскости AA1B1: u = (xD1 - xP, yD1 - yP, zD1 - zP) = (а - 0, -а - (-а), -а - 0) = (а, 0, -а) v = (xA - xA1, yA - yA1, zA - zA1) = (а - (-а), а - (-а), а - (-а)) = (2а, 2а, 2а) Теперь найдем скалярное произведение векторов u и v: u · v = (а * 2а) + (0 * 2а) + (-а * 2а) = 2а^2 - 2а^2 = 0 Как мы видим, скалярное произведение векторов u и v равно нулю. Это означает, что угол между прямой D1P и плоскостью AA1B1 равен 90 градусам. Таким образом, получаем ответы: а) Расстояние между серединами отрезков B1D и AP: (а/2) * √5 б) Угол между прямыми B1D и AP: не равен 90 градусам в) Угол между прямой D1P и плоскостью AA1B1: 90 градусов.