Длина рёбра куба ABCDA1B1C1D1 равна 2. Найдите расстояние: а) от точки B до прямой A1C1; б) от точки А до прямой BD1. Решение методом координат

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб

AB = 2

--------------------------------

Найти:

а) р(B, A₁C₁) - ?

б) р(A, BD₁) - ?

а) Проведем BH⊥A₁C₁. Искомое расстояние BH = d есть высота BH - ΔBA₁C₁. ΔA₁BC₁ равносторонний — все его стороны, будучи диагоналями граней, равны ⇒ A₁B = BC₁ = √2, cледовательно:

sin∠BA₁H → BH/BA₁ → BH = BA₁ × sin60° = √2 × √3/2 = √6/2 ⇒ BH = р(B, A₁C₁) = √6/2

(Рисунок показан внизу где влево).

б) Проведем BH⊥BD₁ Искомое расстояние AH = d есть высота AH - ΔABD₁. ΔABD₁ - прямоугольный. Действительно, прямая AB⊥(ADD₁) и поэтому перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости — в частности, прямой AD₁.

Имеем: AB = 2, AD₁ = √2, BD₁ = √3

Если S — площадь треугольника ABD₁, то получаем:

2S = AB×AD₁ = BD₁×AH ⇒ AH = AB×AD₁/BD₁ = 2×√2/√3 = 2√2/√3 × √3/√3 = 2√2×3/(√3)² = 2√6/3 ⇒ р(A, BD₁) = AH = 2√6/3

(Рисунок показан внизу где вправо).

ответ: а) р(B, A₁C₁) = √6/2, б) р(A, BD₁) = 2√6/3