Диагонали трапеции равны 8 и 15см. основания 7 и 10. найти угол между диагоналями.(без синусов и косинусов)

Пусть АС - это диагональ длины 15, а BD - длины 8. Из вершины С проводится линия II BD до пересечения с продолжением AD, пусть это пересечение - точка E.

Угол между диагоналями (само собой) равен углу между АС и СЕ. То есть надо найти угол АСЕ. 

Кроме того, DBCE - параллелограмм, поэтому DE = BC;

В треугольнике АСЕ АС = 15; CE = BD = 8; АЕ = АD + DЕ = АD + BC = 10 + 7 = 17;

Поэтому стороны треугольника АСЕ равны 8, 15 , 17;

легко увидеть, что 8^2 + 15^2 = 17^2; (ну, или, для тех, кто не дремал на уроках, 8,15,17 - Пифгорова тройка) то есть треугольник АСЕ прямоугольный, и угол против наибольшей стороны, то есть искомый угол АСЕ,  - прямой.