Даны точки А(-1;2), В(0;-1), С(6;1)

1. а) Найдите координаты и длину вектора АВ
б) Разложите вектор АВ по координатным векторам i и j

2. а) Запишите уравнение окружности с центром в точке А и радиусом АВ
б) Принадлежит ли этой окружности точка D(5;4)

1. а) Чтобы найти координаты и длину вектора АВ, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

Длина вектора AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Где (x1, y1) - координаты точки A, а (x2, y2) - координаты точки B.

В нашем случае:

(x1, y1) = (-1, 2)
(x2, y2) = (0, -1)

Подставляя значения в формулу:

Длина вектора AB = √((0 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2)
= √((1)^2 + (-3)^2)
= √(1 + 9)
= √10

Таким образом, длина вектора AB равна √10.

б) Чтобы разложить вектор AB по координатным векторам i и j, мы должны выразить компоненты вектора AB через i и j.

Вектор AB = (x2 - x1)i + (y2 - y1)j

Где (x1, y1) - координаты точки A, а (x2, y2) - координаты точки B.

В нашем случае:

(x1, y1) = (-1, 2)
(x2, y2) = (0, -1)

Подставляя значения в формулу:

Вектор AB = (0 - (-1))i + (-1 - 2)j
= i - 3j

Таким образом, вектор AB разлагается на компоненты i и j следующим образом: AB = i - 3j.

2. а) Уравнение окружности с центром в точке A и радиусом AB можно записать следующим образом:

(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = r^2

Где (x1, y1) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности (длина вектора AB).

В нашем случае:

(x1, y1) = (-1, 2)
r = √10

Подставляя значения в формулу:

(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = (√10)^2
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 10
x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 10
x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 10

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке A и радиусом АВ равно x^2 + y^2 + 2x - 4y - 5 = 0.

б) Чтобы проверить, принадлежит ли точка D(5, 4) этой окружности, мы можем подставить ее координаты в уравнение окружности и проверить, выполняется ли оно.

Подставляя координаты точки D(5, 4) в уравнение окружности:

(5)^2 + (4)^2 + 2(5) - 4(4) - 5 = 0
25 + 16 + 10 - 16 - 5 = 0
40 - 21 = 0
19 ≠ 0

Таким образом, точка D(5, 4) не принадлежит этой окружности.