Даны четыре точки Составить уравнение:
1) Плоскости
2) Прямой
3) Прямой перпендикулярной к плоскости
4) Прямой паралельной прямой

Для простоты записи пусть точки обозначены:

A(9; 5; 5), B(-3; 7; 1), C(5; 7; 8), D(6; 9; 2).

а) Для получения уравнения плоскости ABC нужно найти смешанное произведение векторов AB и AC.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA           y - yA             z - zA

xB - xA        yB - yA          zB - zA

xC - xA       yC - yA           zC - zA   = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 9          y - 5           z - 5

-3 - 9        7 - 5           1 - 5

5 - 9         7 - 5           8 - 5   = 0

x - 9           y - 5           z - 5 |           x - 9        y - 5  

 -12               2               -4   |             -12            2

 -4                 2               3   |            -4               2 =

6(x - 9) + 16(y - 5) - 24(z - 5) + 36(y - 5) + 8 (x - 9) + 8(z - 5) =

= 6x - 54 + 16y - 80 - 24z + 120 + 36y - 180 + 8x - 72 + 8z - 40 =

= 14x + 52y - 16z - 306 = 0 или, сократив на 2:

7x + 26y - 8z - 153  = 0.

Подсчёт произведен методом "косых полосок".

б) Находим вектор АВ: (-3-9; 7-5; 1-5) = (-12; 2; -4).

Уравнение АВ: (x - 9)/(-12) = (y - 5)/2 = (z - 5)/(-4).

в) Нормальный вектор DM определяем из уравнения плоскости АВС.

DN = (7; 26; -8) - он будет направляющим вектором DM.

Если известна некоторая точка пространства (примем точку D), принадлежащая прямой, и направляющий вектор  данной прямой, то  канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:

( (x - 6)/7) = ((y - 9)/26) = ((z - 20/(-8).

г) Направляющий вектор заданной прямой CN, параллельной АВ, будет равен направляющему вектору АВ: (-12; 2; -4).

Подставляем координаты точки С:

Уравнение CN: (x - 5)/(-12) = (y - 7)/2 = (z - 8)/(-4).