Дано точки: А(-2; -4), B(4; 4), C(-1; 3). Знайти координати вектора MN=2AC-3BA i косинус кута між векторами АС I BA.

Добро пожаловать в наш урок, где мы будем решать задачу по координатной геометрии. Вам заданы точки A(-2; -4), B(4; 4) и C(-1; 3). Мы хотим найти координаты вектора MN=2AC-3BA и косинус угла между векторами AC и BA.

Давайте начнем с поиска координат вектора MN=2AC-3BA. Для этого мы должны умножить координаты вектора AC на 2 и координаты вектора BA на -3, а затем сложить результаты. Предлагаю сначала найти векторы AC и BA.

Для этого найдем разность координат точек, то есть координаты конечной точки минус координаты начальной точки.

Координаты вектора AC:
AC = (C_x - A_x, C_y - A_y) = (-1 - (-2), 3 - (-4)) = (1, 7)

Координаты вектора BA:
BA = (A_x - B_x, A_y - B_y) = (-2 - 4, -4 - 4) = (-6, -8)

Теперь мы можем найти вектор MN:
MN = 2AC - 3BA = 2(1, 7) - 3(-6, -8) = (2, 14) - (-18, -24) = (2 + 18, 14 + 24) = (20, 38)

Таким образом, координаты вектора MN равны (20, 38).

Теперь давайте рассмотрим вторую часть вопроса и найдем косинус угла между векторами AC и BA. Для этого мы можем использовать формулу косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (AC • BA) / (|AC| * |BA|),

где AC • BA - скалярное произведение векторов AC и BA,
|AC| - длина вектора AC,
|BA| - длина вектора BA.

Давайте начнем с нахождения скалярного произведения векторов AC и BA:

AC • BA = (AC_x * BA_x) + (AC_y * BA_y) = (1 * -6) + (7 * -8) = -6 - 56 = -62.

Теперь найдем длины векторов AC и BA:

|AC| = √((AC_x)^2 + (AC_y)^2) = √(1^2 + 7^2) = √(1 + 49) = √50 = 5√2,

|BA| = √((-6)^2 + (-8)^2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Теперь мы можем вычислить косинус угла θ:

cos(θ) = (-62) / (5√2 * 10) = (-62) / (50√2) = (-31√2) / 25.

Итак, косинус угла между векторами AC и BA равен (-31√2) / 25.

Надеюсь, это решение понятно для вас! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задайте их!