Дано точки A(-2; 3), В(1;-1), С(2;4). Знайдіть: 1. Координати вектора АВ і СА;
2. Модулі векторів АВ і СА;
3. Координати вектора MN = 3 АВ - 2СА;
4. Скалярні добуток векторів ЛВ і СА;
5. Косинус кута між векторам АВ і СА;​

Добрый день! Очень рад, что вы обратились ко мне за помощью. Давайте разберемся с данным заданием шаг за шагом.

1. Чтобы найти координаты вектора AB, нужно вычесть координаты точки A из координат точки B:
AB = (xB - xA, yB - yA)
В данном случае:
AB = (1 - (-2), (-1) - 3) = (3, -4)
Координаты вектора AB равны (3, -4).

Аналогично, чтобы найти координаты вектора AC, нужно вычесть координаты точки A из координат точки C:
AC = (xC - xA, yC - yA)
В данном случае:
AC = (2 - (-2), 4 - 3) = (4, 1)
Координаты вектора AC равны (4, 1).

2. Модуль (длина) вектора AB вычисляется по формуле:
|AB| = √(x^2 + y^2)
В данном случае:
|AB| = √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
Модуль (длина) вектора AB равен 5.

Аналогично, модуль (длина) вектора AC можно вычислить:
|AC| = √(4^2 + 1^2) = √(16 + 1) = √17
Модуль (длина) вектора AC равен √17.

3. Чтобы найти координаты вектора MN, нужно умножить каждую координату вектора AB на 3, а каждую координату вектора AC на 2 и затем выполнить вычитание:
MN = 3AB - 2AC
= (3 * 3, 3 * (-4)) - (2 * 4, 2 * 1)
= (9, -12) - (8, 2)
= (9 - 8, -12 - 2)
= (1, -14)
Координаты вектора MN равны (1, -14).

4. Скалярное произведение двух векторов AB и AC вычисляется следующим образом:
AB · AC = x1 * x2 + y1 * y2
В данном случае:
AB · AC = 3 * 4 + (-4) * 1
= 12 - 4
= 8
Скалярное произведение векторов AB и AC равно 8.

5. Косинус угла между векторами AB и AC можно найти с использованием скалярного произведения и модулей векторов по формуле:
cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)
В данном случае:
cos(θ) = 8 / (5 * √17)
Упрощаем выражение:
cos(θ) = 8 / (5√17)
К сожалению, нам не удастся упростить это выражение дальше без использования калькулятора.
Итак, косинус угла между векторами AB и AC равен 8 / (5√17).

Надеюсь, что объяснение было понятным и детальным. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!