Дано прямоугольный треугольник, катеты которого равны 7 см и 24 см. с вершины прямого угла этого треугольника к плоскости b, которая проходит через его гипотенузу, проведено перпендикуляр. найдите длину этого перпендикуляра, если расстояние от его основания до гипотенузы равно 84/25 см .

Гипотенуза треугольника равна √(7²+24²) = √(49+576) = √625 = 25 см.
Высоту этого треугольника на гипотенузу найдём из пропорции на основе подобия прямоугольных треугольников:
h / 7 = 24 / 25
h = 7*24 / 25 = 168 / 25 = 6,72.
Расстояние до плоскости В - это катет треугольника, в котором гипотенуза - высота первого треугольника:
H = √((168/25)²-(84/25)²) = 145.49/25 = 5.82 см.

Пусть <C =90° ; ,AC =7 см ; BC =24 см ;  плоскость  α  проходит через гипотенузу  AB  ; 
 CO  ┴  α (O∈α)    ; OH ┴ AB   ;   OH =84/25 см  H∈[AB] .
AB =√(AC² +BC²) =√(7² +24²) =√(49+576) =√625 =25.
Точка   H соединяем с вершиной  С.  
AB ┴ OH ⇒AB ┴ CH (теорема трех перпендикуляров ).
S(ABC) =AC*BC/2 = AB*CH/2⇒CH =AC*BC/AB =7*24/25 (см).        * * * =84*2/25 * * * .
Из ΔCOH  по теореме Пифагора :
CO =√(CH² -OH²)  =√ ((7*24/25)² -(84/25)²) =√ ((7*12*2/25)² -(7*12/25)²)  =
= 7*12/25√(2² -1) = (7*12√3√)/25 =(84*√3)/25  .   * * *84*4*√3 /25*4 =3,36√3 * * *
ответ : (84*√3)/25  см .