Дано: cm - биссектриса треугольника abc, cb=cn, ck - медиана треугольника bcn.
доказать: cm перпендикулярен ck.
рисунок ниже:

Для доказательства того, что cm перпендикулярна ck, мы можем использовать несколько свойств треугольников и лемму о перпендикулярах.

1. Из дано условия, cb=cn, мы можем заключить, что биссектриса cm равна медиане ck (так как одна равна другой).
2. Предположим, что cm не перпендикулярна ck. Это означает, что они пересекаются в точке m' (не прямо под углом).
3. Проведем прямую м'k'.
4. Так как биссектриса cb делит угол b пополам, и точка n находится на этой биссектрисе, то угол bcn равен углу bck.
5. Также, так как медиана ck делит сторону bn пополам, угол bck равен углу bkm', где km' - медиана треугольника bkm'.
6. Из пункта 4 следует, что углы bcn и bkm' равны.
7. Из пункта 6 следует, что угол bcn равен углу bkm'.
8. По лемме о перпендикулярах, если две прямые пересекаются и углы между ними равны, то эти прямые перпендикулярны друг другу.
9. Следовательно, cm и ck должны быть перпендикулярными, так как углы bcn и bkm' равны.

Таким образом, мы доказали, что cm перпендикулярна ck.