Дано, что ВЕ - биссектриса угла СВА. AD⊥BA и СЕ⊥СВ
Вычисли ЕВ, если AD = 9 см, ВА = 12 см, СЕ = 4,5 см

Для решения данной задачи, нам понадобится знание о свойствах биссектрисы угла.

Во-первых, свойство биссектрисы угла гласит, что она делит противоположную сторону на две части, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

То есть, мы можем записать следующую пропорцию:
VA/VE = BA/BE

Так как у нас уже известны значения ВА (12 см) и СЕ (4,5 см), мы можем подставить их в пропорцию:
12/VE = (BA + AE)/BE

Теперь нам нужно выразить AE через VE. Мы знаем, что СЕ⊥СВ, то есть угол СЕВ прямой, и поэтому можем применить теорему Пифагора к треугольнику СЕВ:
ВЕ^2 = СЕ^2 + СВ^2
ВЕ^2 = 4,5^2 + ВА^2
ВЕ^2 = 4,5^2 + 12^2
ВЕ^2 = 20,25 + 144
ВЕ^2 = 164,25

Теперь мы знаем значение ВЕ, поэтому можем вернуться к пропорции:
12/VE = (12 + AE)/BE

Теперь нужно найти BE. Мы знаем, что ВЕ - биссектриса угла СВА, поэтому можем воспользоваться другим свойством биссектрисы: она делит сторону противолежащую углу пополам.

То есть, мы можем записать следующую пропорцию:
AD/DE = BA/BE

Подставим известные значения:
9/DE = 12/BE

Теперь мы можем выразить DE через BE:
DE = (9 * BE)/12

Теперь у нас есть два уравнения:
12/VE = (12 + AE)/BE
DE = (9 * BE)/12

Мы можем подставить значение DE из второго уравнения в первое:
12/VE = (12 + AE)/BE
12/VE = (12 + AE)/((9 * BE)/12)

Теперь задача сводится к решению этого уравнения относительно VE.

Чтобы выразить VE, мы можем умножить оба члена уравнения на BE:
12 = (12 + AE) * (12/BE)

Раскроем скобки:
12 = 144/BE + (AE * 12)/BE

Теперь умножим оба члена уравнения на BE:
12BE = 144 + 12AE

Далее, нам нужно выразить AE через VE. Мы можем воспользоваться уже известным нам значением ВЕ (164,25):
164.25^2 = 144 + 12AE

Решим это уравнение для AE:
26926.5625 - 144 = 12AE
26782.5625 = 12AE

Разделим оба члена уравнения на 12:
AE = 26782.5625/12
AE = 2231.88

Теперь, зная значение AE, мы можем вернуться к первому уравнению и выразить VE:
12/VE = (12 + 2231.88)/BE
12/VE = 2243.88/BE

Домножим оба члена уравнения на VE:
12 = (2243.88/BE) VE

Теперь мы можем выразить VE:
VE = (2243.88 * BE)/12

Осталось только найти значение BE. Мы уже ранее установили пропорцию:
9/DE = 12/BE

Мы можем подставить значение DE:
9/((9 * BE)/12) = 12/BE

Упростим данное уравнение:
9BE/9 = 12/(BE/12)
BE = 12

Теперь, зная значение BE, мы можем подставить его в выражение для VE:
VE = (2243.88 * 12)/12
VE = 2243.88

Итак, получаем, что VE = 2243.88 см.

Таким образом, ответ на задачу составляет VE = 2243.88 см.