Дано: ABCD-прямоугольник, FB перпендикулярно пл(ABC). Докажите, что DC перпендикулярно пл(BFC).

Чтобы доказать, что DC перпендикулярно плоскости BFC, мы должны использовать уже известный факт о прямоугольниках: диагонали прямоугольника являются взаимно перпендикулярными. Воспользуемся этим. Нам дано, что ABCD - прямоугольник, то есть AB и CD являются его диагоналями. По условию имеем, что FB перпендикулярно плоскости ABC. Заметим, что треугольники BCF и FBC также являются прямоугольными треугольниками, так как FB перпендикулярно плоскости ABC. Рассмотрим теперь прямоугольник ABFC. Диагонали прямоугольника противоположны и пересекаются в точке O (это следует из свойства прямоугольника). Таким образом, в точке O пересекаются две диагонали: AO и BF. Но мы уже знаем, что BF перпендикулярно плоскости ABC. Значит, BF перпендикулярно AO. Теперь обратимся к треугольнику DCO. Он образован диагональю DC прямоугольника ABCD и прямой OC, которая является продолжением линии AO. Вершина O в этом треугольнике та же, что и в прямоугольнике ABFC, и мы уже знаем, что линия BF является перпендикулярной линии AO в точке O. Из этого следует, что DC также должна быть перпендикулярна линии BF, а значит, перпендикулярна плоскости BFC. Таким образом, мы показали, что DC перпендикулярна плоскости BFC, используя факт о перпендикулярности диагоналей прямоугольника и свойства прямоугольных треугольников.