Дано: ΔABC, угол С=90°, F - точка пересечения медианы, DF⊥(ABC), угол CAB=30°, AB=4, DF=1. Найти AD.

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора, теорему о треугольнике и свойства медианы треугольника.

1. Построим треугольник ABC, где угол CAB = 30° и AC = AB = 4. Так как угол CAB = 30°, то угол BAC = 180° - 90° - 30° = 60°.

2. Построим медиану треугольника ABC из вершины A. Медиана в треугольнике является отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

3. Обозначим точку пересечения медианы и высоты треугольника как точку F. Условие DF⊥(ABC) означает, что прямые DF и AC перпендикулярны.

4. Так как ABC является прямоугольным треугольником (угол С равен 90°), то медиана, проведенная из прямого угла (точка F) к гипотенузе (отрезок AC), является половиной гипотенузы (отрезка AC).

5. Из свойств медианы треугольника следует, что отрезок AF равен половине гипотенузы AC. Таким образом, AF = AC / 2 = 4 / 2 = 2.

6. Теперь рассмотрим треугольник ADF, где AF = 2 и DF = 1. Мы должны найти AD.

7. Можем применить теорему Пифагора в треугольнике ADF, так как у нас есть прямоугольный угол в вершине D. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

8. Применяя теорему Пифагора, получаем:
AD^2 = AF^2 + DF^2
AD^2 = 2^2 + 1^2
AD^2 = 4 + 1
AD^2 = 5

9. Чтобы найти AD, возьмем квадратный корень из обеих сторон:
AD = √5

Таким образом, AD равно корню из 5.