Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. окружность проходит через точки B, C, D и касается прямой AB. известно, что BC=5, AD=15, AB=5 корней из 3. найти: а) радиус окружности; б) площадь трапеции.

Окружность вторично пересекает AD в точке E.

AB - касательная. По теореме о касательной и секущей:

AB^2=AD*AE => 25*3=15*AE => AE=5

AB/AD =1/√3 =AE/AB

△EAB~△BAD (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)

=> ∠ABE=∠ADB

∠ADB=∠CBD (накрест лежащие при BC||AD) => ∠ABE=∠CBD

EBCD - вписанная трапеция => равнобедренная, BE=CD=x

Внешний угол вписанного четырехугольника равен противолежащему внутреннему.

∠BEA=∠BCD

△BEA~△BCD (по двум углам) => BE/BC=AE/CD => x/5=5/x => x=5

BC=BE=5 => BD=AB=5√3

ED=AD-AE =15-5 =10

Для треугольника EBD выполняется теорема Пифагора:

10^2 =5^2 +(5√3)^2 => треугольник прямоугольный

∠EBD=90° => ED - диаметр, радиус=ED/2=5

В треугольнике EBD высота из прямого угла:

h =BE*BD/ED =5*5√3/10 =5√3/2

S(ABCD) =1/2 (BC+AD) h =1/2 (5+15) 5√3/2 =50√3/2