Дана трапеция abcd с основаниями ad и bc. точки m и n лежат на сторонах ab и cd соответственно, причём отрезок mn параллелен основаниям трапеции. диагональ ac пересекает этот отрезок в точке o. известно, что площади треугольников amo и cno равны. а) доказать, что cm║an. б) найдите mn, если ad = a и bc = b.
ответ: MN=√ab
Объяснение:
Рассмотрим рисунки приложения.
а) Примем площади равновеликих ( по условию) треугольников АМО и NСO равными m, а площадь ∆ МОС=k. Тогда S(АМС)=m+ k, S(NMC)=m+k, ⇒ S(АМС)=S(NMC). Оба эти треугольника имеют общее основание МС, следовательно, их высоты (на рисунке они выделены красным цветом) равны. ⇒ расстояние между точками А и N и прямой МС равны ⇒ МС||АN. Доказано.
б) На основании параллельности ВС║MN║AD и MC║AN с общими секущими ∆ МВС~ ∆ АMN. Из подобия следует отношение а:MN=МС:АС. Аналогично ∆ МСN~∆AND ⇒ MN:b=MC:AC, из чего следует а:MN=MN:b и MN²=ab, ⇒ MN=√ab