Дана прямая призма ABCA1B1C1, основание которой — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и катетом BC, вдвое большим бокового ребра призмы. Точка M — середина ребра A1C1, точка N лежит на ребре BC, причём CN : NB = 1 : 3.

а) Докажите, что MN ⊥ CB1.

б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания A1B1C1, если АА1: АВ =1: √7.​

Добрый день! Давайте разберем ваш вопрос по порядку.

а) Для доказательства того, что MN ⊥ CB1, нам необходимо показать, что отрезок MN перпендикулярен к отрезку CB1.
Для начала, обратимся к условию задачи. У нас есть прямая призма ABCA1B1C1, у которой основание - прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и катетом BC, вдвое большим бокового ребра призмы.

Также, у нас есть точка M - середина ребра A1C1, и точка N, которая лежит на ребре BC, и отношение CN к NB равно 1 к 3.

Мы должны доказать, что MN перпендикулярно к CB1.

Чтобы это сделать, мы воспользуемся свойством, которое утверждает, что в прямоугольной призме диагональ основания является высотой призмы, и перпендикулярна к боковому ребру. В нашем случае, основанием является треугольник ABC, а диагональ это ребро A1C1.

Так как точка M является серединой ребра A1C1, значит, отрезок MN -- это медиана треугольника A1CB1.

Далее, мы знаем, что медиана треугольника делит боковое ребро пополам, и соотношение между отрезками CN и NB равно 1 к 3.

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

1) Длина отрезка CM равна половине длины A1C1, то есть CM = (1/2) * A1C1.
2) Длина отрезка MN равна сумме длин отрезков CM и CN, то есть MN = CM + CN = (1/2) * A1C1 + CN.
3) Длина отрезка NB равна 3 * длина отрезка CN, то есть NB = 3 * CN.

Так как у нас есть соотношение между отрезками CN и NB, то мы можем выразить длину отрезка CN через NB: CN = (1/3) * NB.

Теперь, мы можем заменить значения CN и NB в выражении для длины отрезка MN:
MN = (1/2) * A1C1 + CN = (1/2) * A1C1 + (1/3) * NB.

Так как у нас изначально было дано, что A1C1 - это вдвое больше бокового ребра призмы, то A1C1 = 2 * BC1.

Подставим это значение в выражение для MN:
MN = (1/2) * A1C1 + (1/3) * NB
= (1/2) * (2 * BC1) + (1/3) * NB
= BC1 + (1/3) * NB.

Теперь, мы можем эквивалентно переписать наше выражение:
MN = (3/3) * BC1 + (1/3) * NB
= (3/3) * BC1 + (1/3) * 3 * CN
= (3/3) * BC1 + (1/3) * 3 * CN
= BC1 + CN.

Мы видим, что MN равняется BC1 + CN. Так как отрезок BC1 является горизонтальным (лежит в плоскости основания), а отрезок CN является вертикальным (лежит на ребре BC), то MN будет перпендикулярен к CB1.

Таким образом, мы доказали, что MN ⊥ CB1.

б) Теперь давайте перейдем ко второй части задания, а именно нахождению угла между прямой MN и плоскостью основания A1B1C1, при условии, что АА1: АВ = 1: √7.

Для этого рассмотрим треугольник ABC. У нас есть два его собственных прямых угла — это угол ACB и угол BCA. Как мы уже установили в первой части задачи, отрезок MN перпендикулярен к отрезку CB1, а значит, отрезок MN будет перпендикулярен к плоскости ABC.

Таким образом, угол между прямой MN и плоскостью A1B1C1 будет равен 90 градусам.