Дана прямая cd и точки a и b,лежащие по одну сторону от прямой cd. найти на прямой точку m такую,что угол amc=2угол bmd

1) Пусть F - точка симметричная А, относительно прямой СD.
2) Проведем окружность с центром B и радиусом BF до пересеченеия с прямой CD в точках E1 и E2, причем пусть E1 ближе к А, чем E2.
3) Пусть M1 и M2 - точки пересечения биссектрис углов E1BF и E2BF с прямой СD соответственно.

Тогда точка М1 будет искомой, если D и E2 лежат по одну сторону от M1, а С по другую. Если же D и E1 лежат по одну сторону от M2, а C - по другую, то искомой точкой будет М2.  В остальных случаях требуемой точки нет.

Доказательство: Пусть, например, D и E2 лежат по одну сторону от M1, тогда если К - пересечение прямой BM1 c отрезком FE1, то ∠BM1D=∠KM1E1=0,5∠FM1E1=0,5AM1C, что и требовалось.
Первое равенство здесь т.к. углы вертикальные,
второе - т.к. треугольник FBE1 равнобедренный, а BK -  его биссектриса, высота и медиана.
Третье равенство верно, т.к.∠FM1E1=∠AM1C по построению точки F.
Черетеж к этому доказательству в картинке.