Дана пирамида, у которой двугранные углы при основании равны.
Какие из утверждений верны?

-все рёбра пирамиды равны
-углы, которые образуют высота пирамиды с высотами боковых граней пирамиды, равны
-вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды
основанием пирамиды может быть произвольный треугольник

Добрый день! Спасибо за интересный вопрос. Давайте разберем поочередно каждое утверждение и внимательно проанализируем каждое из них.

Утверждение 1: все рёбра пирамиды равны.
Ответ: Не всегда. Рассмотрим следующий пример. Представим, что у нас есть пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а высота пирамиды равна одной из сторон основания. В этом случае все ребра будут равны (пирамида будет правильной), но это не означает, что для любой пирамиды все ее ребра равны. Таким образом, утверждение 1 неверно.

Утверждение 2: углы, которые образуют высота пирамиды с высотами боковых граней пирамиды, равны.
Ответ: Верно. Рассмотрим две боковые грани пирамиды и их соответствующие высоты. Если углы при основании пирамиды равны, то боковые грани равнобедренные треугольники. Высота пирамиды, проходящая через вершину и перпендикулярная основанию, будет одновременно являться биссектрисой угла основания и высотой боковой грани пирамиды. Таким образом, утверждение 2 является верным.

Утверждение 3: вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
Ответ: Верно. Представим, что у нас есть основание пирамиды, являющееся произвольным треугольником. Внутренняя окружность, вписанная в этот треугольник, имеет центр, который является пересечением биссектрис треугольника. Высота пирамиды, проходящая через вершину и перпендикулярная основанию, будет также проецироваться на центр окружности. Таким образом, утверждение 3 является верным.

Утверждение 4: основанием пирамиды может быть произвольный треугольник.
Ответ: Верно. Пирамида может иметь произвольную форму основания, включая треугольник. Таким образом, утверждение 4 является верным.

Подведем итог:
- Утверждение 1 – неверно.
- Утверждение 2 – верно.
- Утверждение 3 – верно.
- Утверждение 4 – верно.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь.