Дан треугольник ABC, в котором ∠C=90°, а sinB=32–√10. Найди cos2B.

ответ:
.

Добрый день!

Для решения задачи нам понадобятся знания о тригонометрии и использование тригонометрических тождеств.

Итак, у нас имеется треугольник ABC, в котором угол C равен 90 градусов, что означает, что треугольник является прямоугольным. Пусть угол B обозначается как α.

Известно, что sinB = 32 – √10. Мы хотим найти cos2B.

Для начала, нам нужно найти sin2B и cosB, так как cos2B связан с этими значениями.

1. Находим sin2B:
Используем тригонометрическое тождество: sin2B = 2sinBcosB.
Заменяем sinB на известное значение: sin2B = 2(32 – √10)cosB.

2. Находим cosB:
Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: cosB = AB / AC.
Здесь AB - катет против угла B, AC - гипотенуза.
Зная, что треугольник прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора: AB² + BC² = AC².
По условию, у нас нет известной стороны (значение AB), но мы можем представить ее как краткую формулу.
Пусть AB = a: a² + BC² = AC². (1)

Теперь обратимся к известному значению sinB: sinB = 32 – √10.
Нас интересует катет против угла B, поэтому мы можем использовать формулу sinB = BC / AC (согласно определению sinB).
Заменяем sinB на известное значение: 32 – √10 = BC / AC. (2)

3. Решаем систему уравнений (1) и (2):
Из (2) получаем: BC = (32 – √10) * AC.

Подставляем это значение BC в (1):
a² + [(32 – √10) * AC]² = AC².

Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые:
a² + (1024 - 64√10 + 10)AC² = AC².
a² + 10AC² - AC² = 64√10AC - AC².

Далее, сгруппируем слагаемые с AC и перенесем слагаемые с a в другую сторону:
a² = 9AC² - 64√10AC.

4. Находим значение cosB:
Так как cosB = AB / AC, то в случае нашего треугольника это будет a / AC.
Из уравнения (1) можно выразить a:
a = √(AC² - BC²).

Подставим выражение для a в значение cosB: cosB = a / AC.
Тогда cosB = √(AC² - BC²) / AC.

5. Подставляем найденное значение cosB в sin2B:
Подставим cosB = √(AC² - BC²) / AC в sin2B = 2(32 – √10)cosB:
sin2B = 2(32 – √10) * (√(AC² - BC²) / AC).

Теперь нам нужно выразить sin2B через уже известное значение sinB.
Для этого используем тригонометрическое тождество: sin2B = 2sinBcosB.
Подставляем sinB = 32 – √10 и cosB = √(AC² - BC²) / AC:
2(32 – √10) * (√(AC² - BC²) / AC) = 2(32 – √10) * √(AC² - BC²) / AC.

6. Заключительный шаг:
Так как мы ищем cos2B, воспользуемся тригонометрическим тождеством: cos2B = 1 - sin2B.

Подставляем найденное значение для sin2B:
cos2B = 1 - 2(32 – √10) * √(AC² - BC²) / AC.

Таким образом, мы получили выражение для cos2B в терминах известных значений и сторон треугольника AC и BC.