Дан треугольник ABC с вершинами А (11;-2;-9), В (2;6;-4) С (8;-6;-8). Докажите перпендикулярность векторов ав и ас.

ABCDA1B1D1C1- куб ребро которого равно 2. Найдите скалярное произведение векторов ВА1 и BC1

Сфера задана уравнением (x-4)^2+(y+2)^2+z^2=4. Проверьте принадлежит ли этой сфере точка А(4:3:-1)

Для доказательства перпендикулярности векторов ав (вектор, соединяющий точки A и В) и ас (вектор, соединяющий точки A и С) нам необходимо убедиться, что их скалярное произведение равно нулю.

Для начала, найдем векторы ав и ас.

Вектор ав:
ав = (2 - 11, 6 - (-2), -4 - (-9)) = (-9, 8, 5)

Вектор ас:
ас = (8 - 11, -6 - (-2), -8 - (-9)) = (-3, -4, -1)

Теперь найдем скалярное произведение векторов ав и ас:
ав * ас = (-9 * -3) + (8 * -4) + (5 * -1)
= 27 - 32 - 5
= 27 - 37
= -10

Как мы видим, скалярное произведение векторов ав и ас равно -10, что не является нулем. Поэтому векторы ав и ас не перпендикулярны друг другу.

Теперь перейдем ко второму вопросу. Для нахождения скалярного произведения векторов ВА1 (вектор, соединяющий точки B и А1) и BC1 (вектор, соединяющий точки B и C1), нам необходимо знать координаты точек А1 и C1. Однако, в вопросе нет информации о данных точках, поэтому мы не можем найти скалярное произведение этих векторов.

Переходим к третьему вопросу. Для проверки принадлежности точки А(4:3:-1) сфере, которая задана уравнением (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4, мы подставим координаты точки А в данное уравнение и посмотрим, выполняется ли оно.

(x - 4)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4
(4 - 4)^2 + (3 + 2)^2 + (-1)^2 = 4
0 + 25 + 1 = 4
26 ≠ 4

Как мы видим, уравнение не выполняется для точки А(4:3:-1). Значит, данная точка не принадлежит заданной сфере.

Таким образом, получили ответы на все вопросы, используя систематическое рассмотрение каждого шага и подробные вычисления для ясности понимания школьником.