Дан треугольник abc и h — точка пересечения высот этого треугольника.
пусть d — середина отрезка bc , e — середина отрезка ас . кроме того, медианы треугольника aed также пересекаются в точке h .
найдите градусную меру угла ∠abc.

ответ: 45 градусов.

Объяснение:

Прежде, чем решить задачу - немного теории.

См. верхний рисунок.

Пусть ABC - остроугольный треугольник, H - точка пересечения высот, O - центр описанной окружности.

BB1 - диаметр. Так как B1A перп. AB и CH перп. AB, то CH II AB1; точно также AH II CB1; то есть фигура AHCB1 - параллелограмм.

=> AM = MC; и B1M = MH; другими словами, точка B1 симметрична точке H относительно середины стороны AC.

Точка H1 - пересечение описанной окружности и продолжения высоты BN; B1H1 перпендикулярно BH  => B1H1 II AC => MN - средняя линия тр-ка HB1H1; => HN = NH1; другими словами, точка H1 симметрична точке H относительно стороны AC;

Чтобы уж совсем оценить, что доказано, я повторю это словами. Если H - точка пересечения высот остроугольного треугольника, то точки, симметричные H относительно сторон треугольника и середин сторон треугольника, лежат на описанной окружности.

Теперь - решение.

См. нижний рисунок.

Все обозначения прозрачны, поэтому - сразу к сути.

Так как H - точка пересечения медиан треугольника AED, то FH/AH = 1/2; из подобия тр-ков AHN и FPH PH/HM = FH/HA = 1/2; (больше я такие вещи не объясняю, это было сделано для примера).

Так как ED - средняя линия ABC; ED II AB; то CP = PN; легко видеть, что, если PH = x (это просто обозначение), то HN = 2x; CP = 3x; => CH = 4x; => CH/HN = 2/1; ну, и CN = 6x;

=> HN = NC/3;

Если провести через точку H прямую KG II ED (и II AB), то AG/GD = AH/HF = 2/1;

=> точка G - точка пересечения медиан тр-ка ABC (AD - медиана ABC).

Поэтому медиана CM пройдет через точку G, а заодно - и через точку F, потому что среднюю линию она тоже поделит пополам.

Дальше все просто - из того, что EF = FD следует KH = HG; а это, в свою очередь, дает AN = NM; то есть AN = NB/3;

Теперь надо вспомнить теорию. Если описать окружность вокруг ABC, то H1N = NH = NC/3;

Для двух хорд  CH1 и AB

AN*NB = H1N*NC; => NC*NC/3 = NB*NB/3; => NC = NB;

треугольник CNB - прямоугольный равнобедренный.