Дан шар радиусом r. плоскость, пересекающая диаметр шара под углом 60 градусов, делит диаметр в отношении 3к1. на какие части по площади разделилась при этом поверхность шара?

Давайте рассмотрим данный вопрос подробнее.

У нас есть шар радиусом r и плоскость, которая пересекает его диаметр под углом 60 градусов и делит его на две части соотношением 3:1.

Для начала обратимся к геометрическим особенностям шара. Поверхность шара состоит из всех его точек, находящихся на одинаковом расстоянии от его центра. Радиус шара r - это расстояние от его центра до любой точки на поверхности шара.

Поскольку плоскость пересекает диаметр шара под углом 60 градусов, она должна также проходить через центр шара.

Рассмотрим пересечение плоскости с диаметром шара. Мы знаем, что плоскость делит диаметр на две части в соотношении 3:1. Пусть расстояние от центра шара до точки пересечения плоскости с диаметром будет d. Тогда одна часть диаметра будет равна 3d, а другая часть - d.

Используя теорему Пифагора, мы можем выразить с помощью радиуса r длины этих частей. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара, одной из частей диаметра (3d) и отрезком, соединяющим центр шара с точкой пересечения.

По теореме Пифагора получаем:

(3d)^2 = r^2 - d^2

Раскрывая скобки, получим:
9d^2 = r^2 - d^2

Дальше перенесём d^2 в левую часть уравнения:
10d^2 = r^2

Теперь можем найти отношение площадей поверхности шара, разделенной этой плоскостью.

Общая площадь поверхности шара равна 4πr^2. Площадь, закрытая плоскостью, которая проходит через его диаметр, будет равна πr^2/2 (так как плоскость делит диаметр на две части соотношением 3:1).

Таким образом, чтобы найти площадь поверхности шара выше плоскости, вычитаем площадь закрытую плоскостью из общей площади поверхности шара:

Площадь поверхности шара выше плоскости = 4πr^2 - πr^2/2

Упростим выражение:
= (8 - 1/2)πr^2
= (15/2)πr^2

Таким образом, поверхность шара, выше плоскости, разделена на две части так, что одна часть имеет площадь (15/2)πr^2, а другая часть имеет площадь (1/2)πr^2.