Дан прямоугольный треугольник LKP, угол K-прямой. Из вершины L к катету KP проведена биссектриса LB и BP/BK=5/3. Чему равен косинус угла LPK?

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:

\frac{AO}{OB} = \frac{PO}{OM}

OB

AO

=

OM

PO

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:

\begin{gathered}\frac{ \frac{2}{3} AM}{ \frac{2}{3} BP} = \frac{\frac{1}{3}BP}{\frac{1}{3}AM} \\\ \frac{ AM}{ BP} = \frac{BP}{AM} \\\ AM^2=BP^2 \\\ \Rightarrow AM=BP=1\end{gathered}

3

2

BP

3

2

AM

=

3

1

AM

3

1

BP

BP

AM

=

AM

BP

AM

2

=BP

2

⇒AM=BP=1

Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.

Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:

\begin{gathered}AM^2=AC^2+CM^2-2\cdot AC\cdot CM\cdot\cos ACB \\\ 1^2=(2CM)^2+CM^2-2\cdot 2CM\cdot CM\cdot0.8 \\\ 1=4CM^2+CM^2-3.2CM^2 \\\ 1=1.8CM^2 \\\ CM^2= \frac{1}{1.8} = \frac{5}{9} \\\ CM= \frac{ \sqrt{5} }{3}\end{gathered}

AM

2

=AC

2

+CM

2

−2⋅AC⋅CM⋅cosACB

1

2

=(2CM)

2

+CM

2

−2⋅2CM⋅CM⋅0.8

1=4CM

2

+CM

2

−3.2CM

2

1=1.8CM

2

CM

2

=

1.8

1

=

9

5

CM=

3

5

Следовательно стороны в два раза больше: AC=BC= \frac{2 \sqrt{5} }{3}AC=BC=

3

2

5

Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:

$$\begin{gathered}S= \frac{1}{2} \cdot AC\cdot BC\cdot \sinACB \\\ S= \frac{1}{2} \cdot AC^2\cdot \sqrt{1-\cos ACB} \\\ S= \frac{1}{2} \cdot ( \frac{2 \sqrt{5} }{3})^2\cdot \sqrt{1-0.8}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4\cdot5 }{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{3}\end{gathered}$$

ответ: 2/3