Дан прямоугольный треугольник АВС (∠ С = 90°)\, ∠A = 30°,AC = 2,DC ⊥ABC ,DC = √3. Чему равен угол между плоскостями АDB и АСВ

Для начала, давайте построим треугольник АВС на плоскости, чтобы увидеть все данные и углы, о которых говорится в вопросе. Из условия известно, что угол ВАС (треугольник АВС) равен 90°, угол А равен 30°, сторона АС равна 2 и сторона DC (перпендикуляр к стороне АВ) равна √3. Так как у нас есть прямоугольный треугольник и известны два угла, мы можем использовать свойство, что сумма углов треугольника равна 180°, чтобы найти третий угол треугольника. Угол С (прямой угол) равен 90°, угол А равен 30°, следовательно, угол В будет: 180° - 90° - 30° = 60° Теперь давайте рассмотрим плоскости АДБ и АСВ. Плоскость АДБ содержит точки А, D и B, а плоскость АСВ содержит точки А, С и В. Чтобы найти угол между этими плоскостями, мы можем использовать свойство, что угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Нормаль к плоскости АДБ можно найти, найдя векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости. Вектор, лежащий в плоскости АДБ, может быть найден как разность двух векторов АД и АB. Вектор АД можно найти, найдя разность координат точек D и A: АД = (xD - xA, yD - yA, zD - zA). Так как плоскость АДБ перпендикулярна оси Z, координата zD будет равна 0, поскольку D пересекает АВ в точке С. Итак, вектор АД будет (xD - xA, yD - yA, 0). Аналогично, вектор АB можно найти как разность координат точек B и A: AB = (xB - xA, yB - yA, 0). Теперь мы можем найти нормаль к плоскости АДБ, используя векторное произведение АД и АB: Нормаль_AДБ = АД x АB = (xD - xA, yD - yA, 0) x (xB - xA, yB - yA, 0) Векторное произведение двух векторов в двумерном пространстве можно вычислить как |i j k| |xD yD 0| |xB yB 0| |(yD - yA) * 0 - 0 * (xB - xA)| i (xD - xA) * 0 - 0 * (yB - yA) j (xD - xA) * (yD - yA) - 0 * 0 k = 0i - 0j + (xD - xA) * (yD - yA)k = (xD - xA) * (yD - yA)k Аналогично мы можем найти вектор AB и нормаль к плоскости АСВ: Вектор АС = (xC - xA, yC - yA, 0) = (2 - xA, 0, 0) Вектор ВС = (xC - xB, yC - yB, 0) = (2 - xB, -yB, 0) Нормаль_AСВ = АC x ВС = (2 - xA, 0, 0) x (2 - xB, -yB, 0) Вычислим это векторное произведение: |i j k| |(2 - xA) 0 0| |(2 - xB) -yB 0| = 0i + (0 * 0 - 0 * (2 - xB))j + ((2 - xA) * (-yB) - 0 * (2 - xB))k = 0i + 0j + (2 - xA) * (-yB)k = -(2 - xA) * yBk Теперь у нас есть две нормали к плоскостям АДБ и АСВ: Нормаль_AДБ = (xD - xA) * (yD - yA)k Нормаль_AСВ = -(2 - xA) * yBk Чтобы найти угол между плоскостями АДБ и АСВ, мы можем использовать формулу для косинуса угла между векторами: cosθ = (Нормаль_AДБ * Нормаль_AСВ)/(|Нормаль_AДБ||Нормаль_AСВ|) где θ - искомый угол, * обозначает скалярное произведение векторов, | | обозначает длину вектора. Теперь осталось только вычислить значения длин векторов и выражение для скалярного произведения: |Нормаль_AДБ| = sqrt((xD - xA)² + (yD - yA)²) |Нормаль_AСВ| = sqrt((2 - xA)² + yB²) (Нормаль_AДБ * Нормаль_AСВ) = (xD - xA) * (yD - yA) * (2 - xA) * (-yB) Подставим все значения в формулу для косинуса, чтобы найти угол θ между плоскостями АДБ и АСВ.