Дан пространственный четырехугольникавсd, м и n – середины сторон ави вссоответственно; е cd, k da, de : ec = 1 : 2, dk : ka = 1 : 2. а) выполните рисунок к . б) докажите, что четырехугольникmnek есть трапеция.

Дано: АВСD-пространственный четырехугольник.

М-середина АВ

N-середина ВС

Еε СD

Кε DA

DE:EC=1:2

DK:KA=1:2

Доказать: MNEK-трапеция.

Д-во:

Рассмотрим треугольник АВС:

М-середина АВ, N-середина ВС

Значит, MN-средняя линия треугольника АВС.

MN=0.5*AC

MN||AC

Рассмотрим треугольник АDC:

DE:EC=1:2

DK:KA=1:2

Треугольники ADC и DEK- подобные (по второму признаку подобия треугольников), т.к угол D-общий, а его стороны пропорциональны:

DE/EC=DK/KA=1/2

Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

А так как два эти треугольника подобны, то КЕ||AC

Так как KE||AC, MN||AC => KE||MN.

По определению трапеции, четырехугольник называется трапецией, если две его стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Докажем, что стороны КМ, EN не параллельны друг другу.

АМ/MB=CN/NB=1/1

DE/EC=DK/KA=1/2

Значит, стороны KM, EN не могут быть параллельными в связи с разным отношением сторон.

Значит, четырехугольник MNEK-трапеция.