Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 12 см. На рёбрах, выходящих из одной вершины, даны три некомпланарных вектора. Определи длину векторов (результат округли до десятых):

1. ∣∣∣d→∣∣∣=∣∣a→+c→∣∣=
см.

2. ∣∣e→∣∣=∣∣∣b→+c→+a→∣∣∣=
см.

3. ∣∣∣f→∣∣∣=∣∣∣b→−a→+c→∣∣∣=

Для решения задачи, нам понадобится найти длину каждого из векторов.

1. Для определения длины вектора d, нам нужно сложить векторы a и c. Векторы a и c имеют одну общую вершину, поэтому их можно просто сложить, используя закон параллелограмма.
По закону параллелограмма, длина суммы двух векторов равна диагонали параллелограмма, образованного этими векторами в качестве сторон.

Дано, что длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 12 см.

Чтобы найти длину вектора a, мы можем использовать теорему Пифагора на треугольнике ABC.
Длины сторон этого треугольника равны длине ребра куба, то есть 12 см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора на треугольнике ABC,
где AB и AC - известные стороны, а BC - искомая сторона:

BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 12^2 + 12^2
BC^2 = 144 + 144
BC^2 = 288
BC = √288 ≈ 16.97 см

Теперь у нас есть длина вектора a, равная BC, и длина вектора c, равная 12 см.

Чтобы найти длину вектора d, мы можем использовать закон косинусов на треугольнике BCD.

Векторы a и c образуют угол, так что мы можем использовать закон косинусов для нахождения BC и CD:
BC^2 + CD^2 - 2 * BC * CD * cos(угол BCD) = d^2

Заменяем BC и CD значениями, которые мы нашли ранее:
288 + CD^2 - 2 * √288 * CD * cos(угол BCD) = d^2

Также, учитывая, что три вектора некомпланарны, мы знаем, что диагонали параллелограмма, образованного векторами a и c, равны диагонали параллелограмма, образованного векторами b и d.

Теперь мы можем использовать закон косинусов на треугольнике ABD, чтобы найти AC и BD:

AC^2 + BD^2 - 2 * AC * BD * cos(угол ABD) = d^2

Нам также известно, что AC равно длине вектора a, а BD - длине вектора b.

Заменяем AC и BD значениями, которые мы нашли ранее:
288 + b^2 - 2 * 12 * b * cos(угол ABD) = d^2

Теперь у нас есть два уравнения для нахождения длины вектора d. Мы можем решить их одновременно, и это даст нам длину вектора d:

288 + CD^2 - 2 * √288 * CD * cos(угол BCD) = d^2
288 + b^2 - 2 * 12 * b * cos(угол ABD) = d^2

2. Для определения длины вектора e, нам нужно сложить векторы b, c и a. Векторы b, c и a имеют одну общую вершину, поэтому их можно просто сложить, используя закон параллелограмма.
Длины сторон параллелограмма могут быть найти с помощью теоремы Пифагора, таким же образом, как мы нашли длину вектора a.

Таким образом, мы знаем, что длина стороны AB равна 12 см, а длина стороны BC равна 16.97 см (как мы нашли в предыдущем шаге).

Теперь мы можем использовать закон косинусов на треугольнике ABC, чтобы найти AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(угол ABC)

Заменяем AB и BC значениями, которые мы нашли ранее:
AC^2 = 12^2 + 16.97^2 - 2 * 12 * 16.97 * cos(угол ABC)
AC^2 ≈ 144 + 287.44 - 407.28 * cos(угол ABC)

Длина вектора e равняется диагонали параллелограмма, образованного векторами b, c и a, то есть AC.

Теперь у нас есть длина вектора e.

3. Для определения длины вектора f, нам нужно вычесть вектор a из вектора b и добавить к результату вектор c. Векторы a, b и c имеют общую вершину, поэтому их можно просто вычесть и сложить, используя законы параллелограмма.
Как и в предыдущих шагах, мы также можем использовать закон Пифагора для нахождения длины сторон параллелограмма.

Заменяем AB и AC значениями, которые мы нашли в первом шаге:
AB^2 = 12^2 + 12^2
AB^2 = 144 + 144
AB^2 = 288
AB = √288 ≈ 16.97 см

Теперь мы можем использовать закон косинусов на треугольнике ABC, чтобы найти сторону BC:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(угол ABC)

Заменяем AB и AC значениями, которые мы нашли ранее:
BC^2 = 16.97^2 + 12^2 - 2 * 16.97 * 12 * cos(угол ABC)
BC^2 ≈ 287.44 + 144 - 407.28 * cos(угол ABC)

Теперь мы можем использовать закон косинусов для треугольника BCD, чтобы найти сторону CD:
CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 * BC * BD * cos(угол BCD)

Заменяем BC и BD значениями, которые мы нашли ранее:
CD^2 ≈ BC^2 + b^2 - 2 * √288 * b * cos(угол ABD)

Суммируем стороны внутри модуля, так как мы ищем абсолютное значение (модуль) вектора f:
∣∣∣ f→∣∣∣ = √(CD^2 + getC(ap)^2 + b^2 - 2 * √288 * b * cos(угол ABD))

Теперь мы можем использовать эту формулу, чтобы найти длину вектора f.

После решения всех трех уравнений, мы можем округлить ответы до десятых.