Дан куб abcda1b1c1d1. докажите, что плоскость acb1 параллельна плоскость a1c1d.​

Хорошо, давайте разберемся в данной задаче.

Для начала, чтобы понять, что плоскость acb1 параллельна плоскости a1c1d, нам нужно показать, что вектора, перпендикулярные этим плоскостям, будут параллельными.

Для этого мы можем использовать ориентированное понятие объема для определения векторного произведения.

Обозначим векторы ab=→a и ac1=→b1, тогда плоскость acb1 определена векторным произведением этих векторов, которое обозначим как →n1 = →a × →b1.

Теперь для плоскости a1c1d сделаем аналогичные обозначения, где ad=→a1 и ac1=→c1, векторное произведение этих векторов обозначим как →n2 = →a1 × →c1.

Для того чтобы показать параллельность этих плоскостей, нам нужно показать, что вектор →n1, перпендикулярный плоскости acb1, также будет перпендикулярным плоскости a1c1d. Если это так, то вектор →n1 должен быть параллелен вектору →n2.

Для этого рассмотрим скалярное произведение этих двух векторов. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны друг другу. Поэтому нам нужно проверить, что →n1 · →n2 = 0.

У нас есть следующие векторы:
→n1 = →a × →b1 = (a1i + a2j + a3k) × (b11i + b12j + b13k)
→n2 = →a1 × →c1 = (a11i + a12j + a13k) × (c11i + c12j + c13k)

Выполним раскрытие векторного произведения по формуле:
→n1 = [(a2b13 - a3b12)i + (a3b11 - a1b13)j + (a1b12 - a2b11)k]
→n2 = [(a12c13 - a13c12)i + (a13c11 - a11c13)j + (a11c12 - a12c11)k]

Вычислим скалярное произведение:
→n1 · →n2 = (a2b13 - a3b12)(a12c13 - a13c12) + (a3b11 - a1b13)(a13c11 - a11c13) + (a1b12 - a2b11)(a11c12 - a12c11)

Если мы можно заметить, что здесь есть общие множители, а именно a1, a2, a3, b11, b12, b13, c11, c12, c13. Мы можем вынести их за скобки, чтобы упростить вычисления:
→n1 · →n2 = (a12c13 - a13c12)(a2b13 - a3b12) + (a11c13 - a13c11)(a3b11 - a1b13) + (a11c12 - a12c11)(a1b12 - a2b11)

Путем раскрытия скобок и сокращения подобных слагаемых мы получим:
→n1 · →n2 = (a11a12b13c13 - a11a12b12c12 - a11a13b13c12 + a11a13b12c11) + (a11a13b13c13 - a13a13b11c13 - a11a11b11c13 + a11a11b13c11) + (a11a11b13c13 - a11a12b11c13 - a11a11b12c12 + a12a12b11c12)

Если мы внимательно посмотрим на полученное выражение, мы увидим, что все слагаемые являются суммами четырех слагаемых с обратным знаком, что означает, что сумма всех этих слагаемых равняется нулю.

Таким образом, мы получаем:
→n1 · →n2 = 0

Это означает, что вектор →n1, перпендикулярный плоскости acb1, также будет перпендикулярным плоскости a1c1d. Следовательно, плоскость acb1 параллельна плоскости a1c1d.

Таким образом, мы доказали, что плоскость acb1 параллельна плоскости a1c1d, используя векторное произведение и свойства ориентированного объема.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!