Діагоналі трапеції АВСD ( ) перетинаються у точці О. Знайти АО та ОС, якщо периметри трикутників ВОС та АОD відносяться як 2 : 3 та АС = 20 см.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства трапеции и пропорциональность.
Первым шагом будем искать высоту трапеции, так как по свойству трапеции, диагонали делятся точкой пересечения на равные отрезки.

1. Поскольку диагонали пересекаются в точке О, значит они делятся на равные отрезки:
АО = OC и BO = OD.

2. Теперь мы можем выразить АС через другие стороны трапеции:
АС = АО + OC + OD + DB.
Поскольку АВСD - трапеция, то DB = AB, поэтому
АС = 2*АО + 2*OD.

3. Значение периметров треугольников ВОС и АОD относятся как 2 : 3:
Пусть периметр треугольника ВОС равен Р, тогда периметр треугольника АОD будет равен (3/2)Р.

4. Мы знаем, что периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
Периметр треугольника ВОС: Р = ВО + ОС + ВС,
Периметр треугольника АОD: (3/2)Р = АО + OD + АД.

Но мы также знаем, что АО = OC и OD = BO, поэтому можно представить периметры треугольников следующим образом:
Периметр треугольника ВОС: Р = ВО + ОС + ВС,
Периметр треугольника АОD: (3/2)Р = АО + BO + АД.

5. Поскольку ВО = АD (это следует из свойства трапеции), то мы можем записать систему уравнений:
Р = ВО + ОС + ВС,
(3/2)Р = АО + BO + АД,
ВО = АД.

6. Мы знаем, что ВО и АД равны, поэтому во втором уравнении можем заменить ВО на АД:
(3/2)Р = АО + ОС + АД.

7. Теперь выразим АО и ОС через АС (подставляем АС = 20) и найденные в пункте 6 значения:
(3/2)Р = АО + ОС + 20,
АО = ОС.

8. Решим полученное уравнение для нахождения значения Р (периметра треугольника ВОС):
(3/2)Р = 2АО + 20,
3Р = 4АО + 40,
Р = (4АО + 40)/3.

9. Теперь зная значение Р, можем подставить его в первое уравнение системы:
ВО + ОС + ВС = (4АО +40)/3,
ВО + ОС + 20 = (4АО + 40)/3.

10. Разделим оба выражения на 2 для упрощения:
ВО/2 + ОС/2 + 10 = (2АО + 20)/3.

11. Заменим ВО на АД (поскольку они равны), а также АО на ОС (по предыдущим выкладкам):
АД/2 + ОС/2 + 10 = (2ОС + 20)/3.

12. Разделим оба выражения на 10 для упрощения:
АД/20 + ОС/20 + 1 = (ОС + 2)/3.

13. Умножим оба выражения на 60 для избавления от знаменателя в левой части:
3АД + 3ОС + 60 = 20ОС + 40.

14. Сгруппируем переменные:
3АД + 3ОС - 20ОС = 40 - 60,
3АД - 17ОС = -20.

15. Теперь проведем подобные переменные:
3АД - 17ОС = -20,
АД = (17ОС - 20)/3.

16. Вернемся к уравнению AC = 2АО + 2ОD и подставим найденное значение АД вместо АО и ОД:
AC = 2((17ОС - 20)/3) + 2ОС.

17. Упростим выражение:
AC = (34ОС - 40)/3 + 2ОС,
AC = (34ОС - 40 + 6ОС)/3,
AC = (40ОС - 40)/3.

18. Так как AC = 20, подставим это значение и решим уравнение:
20 = (40ОС - 40)/3,
60 = 40ОС - 40,
40ОС = 100,
ОС = 100/40,
ОС = 2.5.

19. Теперь найдем значение АО, подставив ОС в найденное ранее выражение:
АО = (17ОС - 20)/3,
АО = (17*2.5 - 20)/3,
АО = 42.5/3,
АО = 14.17.

Таким образом, получаем ответ:
АО = 14.17 см,
ОС = 2.5 см.