Цилиндр вписан в конус с образующей l= 10 см. Прямая, проведённая через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, образует с основанием конуса угол в 45°. Угол образующей конуса с высотой конуса равен 30°.

С точностью до сотых определи радиус цилиндра r.

ответ: r≈​

Для решения задачи, нам понадобятся знания о свойствах конусов и цилиндров, а также о геометрических свойствах углов и треугольников.

Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Рассмотрим треугольник, образованный прямой, проведенной через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса. Данный треугольник будет прямоугольным, так как один из углов равен 90 градусам (угол в основании конуса). Из условия задачи известно, что другой угол данного треугольника равен 45 градусам. Получаем, что заданный треугольник - прямоугольный равнобедренный треугольник.

Шаг 2: Обозначим одну из сторон прямоугольного треугольника как a, другую сторону как b и гипотенузу как c. Так как треугольник равнобедренный, то a = b. Также известно, что угол при гипотенузе треугольника равен 45 градусам.

Используя свойства равнобедренных треугольников и связь между углами треугольника и длинами его сторон в прямоугольном треугольнике, мы можем записать следующие равенства:

cos(45) = a / c

Так как угол равен 45 градусам, то cos(45) = 1 / √2 (для вычисления можно использовать калькулятор)

Подставляя это значение в уравнение, получим:

1 / √2 = a / c

√2 * a = c

Шаг 3: Теперь рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину и центр основания. Это сечение будет представлять собой равнобедренный треугольник с углом при основании 30 градусов. Угол между высотой конуса и образующей равен 30 градусам (дано в условии).

Шаг 4: Обозначим высоту конуса как h и образующую как L.

Используя свойства равнобедренных треугольников и связь между углами треугольника и длинами его сторон в равнобедренном треугольнике, мы можем записать следующие равенства:

cos(30) = h / L

Так как угол равен 30 градусам, то cos(30) = √3 / 2 (для вычисления можно использовать калькулятор)

Подставляя это значение в уравнение, получим:

√3 / 2 = h / L

√3 * L = 2h

Шаг 5: Обратимся к цилиндру, вписанному в конус. Радиус цилиндра будем обозначать как r.

Из геометрических свойств вписанного цилиндра мы знаем, что высота цилиндра будет равна высоте конуса. То есть h = H, где H - высота цилиндра.

Также, из геометрических свойств, мы знаем, что образующая конуса является диаметром окружности основания цилиндра. То есть 2r = L, где L - образующая конуса.

Шаг 6: Вернемся к равенству, которое мы получили на шаге 2:

√2 * a = c

Подставим значения a и c из выражений, полученных на шаге 3 и шаге 5:

√2 * (2r) = √3 * H

Упрощая, получаем:

2√2 * r = √3 * H

Шаг 7: Из условия задачи известно, что образующая конуса L = 10 см. То есть L = 10.

Также, из условия задачи известно, что угол образующей конуса с высотой конуса равен 30 градусам.

Используя уравнение, полученное на шаге 6, мы можем записать:

2√2 * r = √3 * H

2√2 * r = √3 * H

2√2 * r = √3 * √3 * r (так как H = √3, по условию задачи)

2√2 * r = 3 * √3 * r

Упрощая и сокращая √2 с радикалом 3, получаем:

2 * r = 3

r = 3 / 2

r ≈ 1.5 (округляем до сотых)

Ответ: r ≈ 1.5