Через вершину В квадрата ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр МВ. Точка М удалена от стороны AD на 9√2 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости квадрата, если его диагональ равна 14 см.

Для начала, давайте нарисуем квадрат ABCD и перпендикуляр МВ:

```
A ------------ B
| |
| |
| M |
| |
| |
D ------------ C
```

Теперь, когда мы представили исходную ситуацию, нам нужно найти расстояние от точки М до плоскости квадрата. Для этого мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве:

```
d = | AX • N | / |N|,
```

где d - расстояние от точки M до плоскости квадрата, AX - вектор, проведенный от точки А до точки М, N - вектор, нормальный к плоскости квадрата.

Вектор AX мы можем получить, вычтя координаты точки А из координат точки М. Пусть координаты точки А равны (x1, y1, z1), а координаты точки М равны (x2, y2, z2). Тогда вектор AX будет равен:
AX = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).

С координатами точек А и М мы еще не знакомы, но мы знаем, что точка М удалена от стороны AD на 9√2 см. То есть, длина стороны AD равна 9√2 см.

Так как сторона AD является диагональю квадрата ABCD, то сторона AB будет равна (14 / √2) см = 7√2 см.

Теперь у нас есть кратчайший путь, чтобы узнать размеры сторон квадрата ABCD. Мы знаем, что сторона AB равна 7√2 см, поэтому у нас есть соответствующие вертикальные границы квадрата ABCD.

Для нахождения координат точки А исходя из полученных размеров сторон, давайте разделим нашу картинку на несколько частей:

```
A ------------ B
| C |
| |
| M |
| |
| |
D ------------ C
```

Так как всё в нашем квадрате ABCD происходит в плоскости, засчитаем только координаты x и y.

Мы знаем, что точка B имеет координаты (0, 0). Также, поскольку сторона AB равна 7√2, точка A находится на 7√2 расстоянии от точки B вправо, так что ее координаты будут (7√2, 0).

Мы также знаем, что точка D представляет левую верхнюю границу квадрата. Поэтому, чтобы найти координаты точки D, мы должны идти 7√2 расстояния от точки B вверх. То есть, координаты точки D будут (0, 7√2).

Теперь, когда у нас есть координаты точек A и D, мы можем продолжить с обоснованием нашего решения.

Мы знаем, что точка М удалена от стороны AD на 9√2 см. Из-за способа, которым мы разбили нашу картинку на части, мы можем видеть, что у точки М y-координата равна 0 (она находится на линии BC), и x-координата будет равна 7√2 - 9√2 = -2√2.

Теперь мы знаем, что координаты точки М равны (-2√2, 0). Мы также знаем, что точка В имеет координаты (0, 0).

Сейчас мы можем найти вектор AX:

AX = (-2√2 - 7√2, 0 - 0) = (-9√2, 0).

Теперь у нас есть вектор AX и нормаль к плоскости квадрата. Вектор нормали будет иметь координаты (0, 0, 1), так как плоскость квадрата параллельна оси z.

Теперь мы можем использовать формулу для расстояния от точки M до плоскости квадрата:

d = | AX • N | / |N| = | (-9√2, 0) • (0, 0, 1) | / | (0, 0, 1) | = | 0 | / 1 = 0.

Таким образом, расстояние от точки M до плоскости квадрата равно 0 см.

Итак, ответ на вопрос: расстояние от точки М до плоскости квадрата равно 0 см.