Через конечную точку C диагонали AC=13,4 ед. изм. квадрата ABCD проведена прямая перпендикулярно диагонали AC. Проведённая прямая пересекает прямые AB и AD в точках M и N соответственно. Определи длину отрезка MN. Длина отрезка MN =

Для решения данной задачи, мы можем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников.

Итак, у нас есть квадрат ABCD, где диагональ AC = 13.4 ед. изм.

1. Начнем с построения заданной ситуации:
- Нарисуем квадрат ABCD и отметим точки A, B, C и D.
- Как мы знаем, диагональ AC = 13.4 ед. изм., поэтому отложим это значение на отрезке AC.
- Обозначим точку пересечения построенной прямой с прямой AB как точку M, а с прямой AD - как точку N.

2. Заметим, что теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: треугольник AMC и треугольник CND.
- Так как прямая, проведенная через точку C, перпендикулярна диагонали AC, то треугольники AMC и CND прямоугольные.
- Обозначим длину отрезка MN как x (так как нам нужно его определить).

3. Применим теорему Пифагора к каждому из прямоугольных треугольников:
- Для треугольника AMC: AC² = AM² + MC²
- Для треугольника CND: AC² = CN² + ND²

4. Подставим известные значения:
- Так как AC = 13.4, то AC² = (13.4)² = 179.56
- Поскольку точка C является вершиной обоих треугольников, то MC = NC = 0 (поскольку это горизонтальная прямая).
- Таким образом, AM = AD - DM и CN = CB - BN.

5. Заменяем известные значения и переменные в уравнениях:
- Для треугольника AMC: 179.56 = (AD - DM)²
- Для треугольника CND: 179.56 = (CB - BN)²

6. Раскрываем скобки и упрощаем уравнения:
- Для треугольника AMC: 179.56 = AD² - 2AD·DM + DM²
- Для треугольника CND: 179.56 = CB² - 2CB·BN + BN²

7. Объединяем уравнения и упрощаем:
- AD² - 2AD·DM + DM² = CB² - 2CB·BN + BN²

8. Теперь нам нужно найти связь между DM и BN. Заметим, что треугольник CDM подобен треугольнику BCN, так как они имеют два угла, равные между собой:
- Угол CDM равен углу BCN, так как они оба являются прямыми углами (перпендикулярны диагонали AC).
- Угол MCD равен углу BCN, так как они оба являются прямыми углами (перпендикулярны прямам AB и AD).

Из подобия треугольников CDM и BCN, можно сделать следующее соотношение:

DM / BN = CD / CB

Заметим, что CD и CB равны между собой, так как они являются сторонами квадрата ABCD, значит:

DM / BN = 1

То есть, DM = BN.

9. Возвращаемся к нашему уравнению:
- AD² - 2AD·DM + DM² = CB² - 2CB·BN + BN²

Заменяем DM на BN:

AD² - 2AD·BN + BN² = CB² - 2CB·BN + BN²

10. Все переменные, кроме x (длины отрезка MN), известны и могут быть заменены их значениями. Раскрываем скобки:

AD² - 2AD·BN + BN² = CB² - 2CB·BN + BN²

AD² - 2AD·BN + BN² - CB² + 2CB·BN - BN² = 0

11. Собираем переменные и упрощаем уравнение:

AD² - CB² + (2CB - 2AD + 1)·BN = 0

Мы видим, что коэффициент при BN равен (2CB - 2AD + 1).

12. Так как эта сумма равна 0, мы можем найти значение x (длины отрезка MN) приравняв коэффициент при BN к нулю:

2CB - 2AD + 1 = 0

2CB = 2AD - 1

BN = (2AD - 1) / 2

MN = 2·BN = 2(2AD - 1) / 2 = 2AD - 1

Итак, длина отрезка MN равна 2AD - 1 ед. изм.