Центр кола з радіусом 5 знаходиться у точці перетину прямих 4х + 3y — 18 = 0 та 3х – 4у – 1 = 0. У яких точках це коло перетинає дані прямі?​

Точки пересечения окружности с прямой 4х + 3y — 18 = 0 имеют координаты (0; 6) и (6; -2)

Точки пересечения окружности с прямой 3х – 4у – 1 = 0 имеют координаты (-1; -1) и (7; 5)

Объяснение:

Задача:

Центр окружности с радиусом 5 находится в точке пересечения прямых 4х + 3y - 18 = 0 и 3х - 4у - 1 = 0. В каких точках этот круг пересекает данные прямые?

Найдём точку пересечения прямых

4х + 3y - 18 = 0    | ·3                              4х + 3y - 18 = 0    | ·4        

3х - 4у - 1 = 0       |· 4                              3х - 4у - 1 = 0       |· 3  

12x + 9y - 54 = 0                                     16x + 12y + 72 = 0

12x - 16y - 4 = 0                                       9x  - 12y -3 = 0

25y - 50 = 0      ⇒  y =  2                        25x + 75 = 0         ⇒ x = 3  

Итак. центр окружности находится в точке с координатами (3; 2)

Тогда уравнение окружности

(х - 3)² + (у - 2)² = 25            (1)

Найдём точки пересечения окружности с прямой

4х + 3у - 18 = 0          

или

у = -4х/3 + 6

Подставим в  (1)

(х - 3)² + (-4х/3 + 4)² = 25

х² - 6х + 9 + 16х²/9 - 32х/3 + 16 = 25

9х² - 54х + 81 + 16х² - 96х + 144 = 225

25х² - 150х =0                    

х² - 6х = 0

х₁ = 0;    х₂ = 6;

из уравнения у = -4х/3 + 6 получаем

y₁ = 6;    y₂ = -2;

Найдём точки пересечения окружности с прямой

3х – 4у – 1 = 0        

или

у = 3х/4 - 1/4

Подставим в  (1)

(х - 3)² + (3х/4 - 9/4)² = 25

х² - 6х + 9 + 9х²/16 - 54х/16 + 81/16 = 25

16х² - 96х + 144 + 9х² - 54х + 81 = 400

25х² - 150х - 175 =0

x² - 6x - 7 = 0

D =  6² +  4 · 7 =  64 = 8²            

х₁ = 0.5 · (6 - 8) = -1              x₂ = 0.5 · (6 + 8) = 7  

Из уравнения у = 3х/4 - 1/4 получаем

y₁ = -1;                                    y₂ = 5