Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов найти пощядь поверхности и объем

Дано: боковое ребро L = 8 см, угол β = 30°.

В правильной треугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h (высоты основания).

(2/3)h = 8*cos 30° = 8√3/2 = 4√3 см.

Высота основания h = (3/2)*4√3 = 6√3 см.

Отсюда находим сторону а основания:

а = h/cos 30° = 6√3/(√3/2) = 12 см.

Высота пирамиды Н =  L *sin 30° = 8*(1/2) = 4 см.

Апофема А боковой грани равна:

А = √(Н² + (h/3)²) = √(16 + (6√3/3)²) = √(16 + 12) = √28 = 2√7 ≈ 5,2915 см.

Площадь основания So = a²√3/4 = 12²√3/4 = 36√3 ≈ 62,3538 см².

Площадь Sбок боковой поверхности равна:

Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(3*12)*(2√7) = 36√7 ≈ 95,247 см².

Полная поверхность равна:

S = So + Sбок = 62,3538 + 95,247 = 157,6008 см².

Объём V = (1/3)SoH = (1/3)*62,3538*4 = 83,1384 см³.