Биссектриса угла C параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке E. Найдите периметр параллелограмма, если DE=8, AE=10.

Для решения данной задачи нам нужно рассмотреть свойство параллелограмма, связанное с его диагоналями.

Согласно данному свойству, диагонали параллелограмма делятся пополам, то есть точка пересечения диагоналей делит каждую из них на две равные части.

Поскольку биссектриса угла C параллельна стороне AD, она делит сторону AD на две равные части. Пусть точка пересечения биссектрисы и стороны AD обозначена как точка E. Тогда DE = AE = 8.

Также, поскольку биссектриса угла C параллельна стороне AD, она также делит противоположную сторону BC на две равные части. Обозначим точку пересечения биссектрисы и стороны BC как точку F. Тогда CF = BF.

Теперь мы можем найти периметр параллелограмма ABCD. Периметр вычисляется как сумма длин всех его сторон.

Известно, что параллелограмм ABCD имеет противоположные стороны AB и CD, которые имеют одинаковую длину. Поэтому AB = CD.

Также, поскольку биссектриса угла C делит сторону AD на две равные части, то мы можем записать, что AD = DE + AE = 8 + 10 = 18.

Таким же образом, поскольку биссектриса угла C делит сторону BC на две равные части, мы можем записать, что BC = CF + BF. Однако, согласно построению биссектрисы, CF = BF, поэтому BC = 2CF.

Теперь нам нужно найти длину стороны CF. Заметим, что треугольник CFE является равнобедренным, поскольку CF = BF и углы CFE и CEF являются равными, так как это биссектриса угла C.

Тогда мы можем использовать теорему косинусов для вычисления длины стороны CF:

CF^2 = DE^2 + EF^2 - 2 * DE * EF * cos(angle DEF)

Поскольку треугольник CFE равнобедренный, угол DEF равен половине угла C. Угол C составляет 180 градусов, так как ABCD является параллелограммом. Значит, угол DEF равен 180/2 = 90 градусов.

Тогда мы можем записать:

CF^2 = 8^2 + EF^2 - 2 * 8 * EF * cos(90)

CF^2 = 64 + EF^2

Теперь мы можем заменить значение CF в уравнении для BC:

BC = 2 * CF = 2 * sqrt(64 + EF^2)

Осталось найти значение EF. Обратимся к треугольнику AEF. Заметим, что EF является высотой этого треугольника, опущенной на сторону AE.

Мы знаем, что DE = AE = 8 и AE = 10.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в этом треугольнике для вычисления значения EF:

EF^2 = AE^2 - DE^2

EF^2 = 10^2 - 8^2

EF^2 = 100 - 64

EF^2 = 36

Таким образом, EF = 6.

Теперь мы можем вычислить значение BC:

BC = 2 * sqrt(64 + EF^2) = 2 * sqrt(64 + 36) = 2 * sqrt(100) = 2 * 10 = 20

Так как AB = CD = BC = 20, то периметр параллелограмма ABCD равен:

Периметр = AB + BC + CD + DA = 20 + 20 + 20 + 18 = 78.

Итак, периметр параллелограмма ABCD равен 78.