Ан треугольник ABC, в котором ∠A=74∘, ∠B=62∘, ∠C=44∘. На дуге BC описанной окружности треугольника ABC выбрана точка P так, что ∠BAP=40∘. Точки A1, B1, C1 — основания перпендикуляров из точки P на прямые BC, AC, AB соответственно. Посчитайте градусные меры следующих углов.
∠BA1C1
∠C1A1B1
∠CPA1

Для решения данной задачи нужно воспользоваться свойствами треугольников и окружностей.

Угол ∠A = 74°, ∠B = 62°, ∠C = 44°. Значит, треугольник ABC - невырожденный треугольник, так как сумма его углов равна 180°.

На дуге BC описанной окружности треугольника ABC выбрана точка P так, что ∠BAP = 40°.

Точки A1, B1, C1 - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на отрезки BC, AC, AB соответственно.

Давайте найдем угол ∠BA1C1.
Поскольку A1 - основание перпендикуляра из точки P на BC, то ∠A1PB = 90°.
Также из свойств окружностей мы знаем, что центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины C на сторону AB. Обозначим эту точку O.
Так как треугольник ABC - невырожденный, то ∠ABC = ∠AOC.
А тогда ∠AOC + ∠B = 180° (сумма углов на окружности).
Значит, ∠AOC = 118°.
Так как угол AOC - это угол полуокружности, он равен 180°.
Теперь мы можем найти угол ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 180° - 62° = 118°.
Угол ∠BA1C1 - это угол вписанный окружности треугольника ABC, опирающийся на дугу BC, по которой лежит точка P.
Следовательно, ∠BA1C1 = ∠BOC = 118°.

Теперь найдем угол ∠C1A1B1.
Мы уже установили, что ∠A1PB = 90°. Также равны 90° и ∠A1B1P, так как A1B1 - гипотенуза прямоугольного треугольника A1B1P. Значит, A1, B1, P и точка C1 лежат на одной окружности.
Отсюда, получаем, что ∠C1A1B1 = ∠C1PB1.
Но мы знаем, что ∠C1PB1 = 90° - ∠BAP = 50° (так как ∠BAP = 40°).
Таким образом, ∠C1A1B1 = 50°.

Осталось найти угол ∠CPA1.
Мы уже установили, что ∠A1PB = 90°.
Также понятно, что ∠CPA1 = ∠A1PB = 90°.

Итак, мы получили следующие значения углов:
∠BA1C1 = 118°
∠C1A1B1 = 50°
∠CPA1 = 90°