Abcdef - правильный шестиугольник. точка k - середина отрезка de, m - середина отрезка bc, l - середина fk, p - середина bf, q - середина bf, q - середина mk. покажите, что треугольник lpq - правильный.

Одна из сторон этого треугольника есть средняя линяя трапеции CDEF. Средняя линяя трапеции равна полусумме его оснований. Одним основанием является сторона шестиугольника ED, т. е. равна a, а вторым основанием расстояние CF, которое равно 2a. 
Отсюда сторона треугольника равна (2a+a)/2=3/2a