AB=BC, CD ⊥ AB, AE ⊥ BC. Доказать, что BE=BD

Дано: AB = BC (1), CD ⊥ AB (2), AE ⊥ BC (3)

Мы должны доказать, что BE = BD.

Решение:

1. Нарисуем фигуру, чтобы проиллюстрировать данную информацию. Построим треугольник ABC с отрезками CD и AE, перпендикулярными отрезкам AB и BC соответственно.

A------------------------B
| |
| |
|------------------------
E C
|
|
D

2. Так как AB = BC (дано), то треугольник ABC - равнобедренный треугольник. Это означает, что у него равны две стороны. Поэтому, AB = BC = AC.

3. Используя свойство равнобедренного треугольника, мы можем сказать, что угол CAB равен углу CBA (обозначим их как α).

4. Так как угол CAB равен углу CBA, а углы CAB и DAE являются вертикальными углами (вертикальные углы равны), то угол CBA также будет равен углу DAE (обозначим их как β).

5. Заметим, что угол CDA (прямой угол, так как CD ⊥ AB) составлен из угла CAB и угла BAD. Поэтому, угол CDA = 2α + β.

6. Также, угол ACE (прямой угол, так как AE ⊥ BC) составлен из угла CBA и угла BAE. Поэтому, угол ACE = α + 2β.

7. Теперь рассмотрим треугольник CDE. У него есть два угла - угол CDA и угол ACE. Мы только что выразили эти углы через α и β.

Угол CDA = 2α + β (из шага 5)
Угол ACE = α + 2β (из шага 6)

8. Заметим, что сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам. Поэтому:
(2α + β) + (α + 2β) + угол CED = 180
3α + 3β + угол CED = 180
3(α + β) + угол CED = 180

9. Теперь рассмотрим треугольник CDE с углами CED и CDE. По свойствам углов треугольника, их сумма также равна 180 градусам.

угол CED + угол CDE + угол CDE = 180
угол CED + 2угол CDE = 180

10. Сравнивая уравнения из шагов 8 и 9, мы видим, что:
3(α + β) + угол CED = угол CED + 2угол CDE

11. Угол CED в обоих уравнениях сокращается, остается:
3(α + β) = 2угол CDE

12. Так как угол CDE - это угол BDE (BD ⊥ CD), мы можем записать:
3(α + β) = 2угол BDE

13. Поскольку α + β является постоянной суммой (из шага 4), мы можем сократить уравнение:
3 = 2угол BDE

14. Значит, угол BDE равен 3/2 или 90 градусам. Это значит, что BD ⊥ BE.

15. Так как угол BDE - это прямой угол, BD и BE - это его противостоящие стороны.
Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что противостоящие стороны прямого угла равны. То есть, BE = BD.

Таким образом, мы доказали, что BE = BD.