4. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH - высота, угол А равен 30, AB-4. Найдите АН.

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о геометрии и тригонометрии. Давайте разберем решение по шагам.

Шаг 1: Найдем длину стороны АС.
Известно, что угол А равен 30 градусам. В прямоугольном треугольнике АСН, угол А равен углу, лежащему напротив стороны СН. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то угол АСН равен 90 - 30 = 60 градусов.
Теперь мы можем использовать свойства треугольника, чтобы найти длину стороны АС. Обратимся к теореме синусов: отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника.
sin(угол АСН) = СН / АС
sin(60) = CH / AC
sqrt(3) / 2 = CH / AC
Получаем соотношение CH = (AC * sqrt(3)) / 2.

Шаг 2: Найдем длину стороны BC.
Если провести высоту CH, то она будет являться медианой и перпендикуляром к стороне АВ. Как известно из свойств треугольника, медиана делит сторону на две равные части, а значит, ВС = СН.

Шаг 3: Найдем длину стороны AB.
Из условия задачи известно, что AB = 4.

Шаг 4: Найдем длину стороны AN.
Мы уже знаем длины всех сторон треугольника: AC, BC и AB. Известно, что сторона АН является гипотенузой прямоугольного треугольника ACN. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны АН:
AN^2 = AC^2 + CN^2
AN^2 = AC^2 + CH^2
AN^2 = (AB + BC)^2 + CH^2
AN^2 = (4 + СН)^2 + (CH)^2
AN^2 = (4 + (AC * sqrt(3) / 2))^2 + ((AC * sqrt(3)) / 2)^2
AN^2 = (4 + (AC * sqrt(3) / 2))^2 + (AC^2 * 3 / 4)
AN^2 = (4 + (AC * sqrt(3) / 2))^2 + (3 * AC^2 / 4)

Шаг 5: Найдем значение AN.
Осталось лишь подставить известное значние AC и решить получившееся уравнение для нахождения AN:
AN^2 = (4 + (AC * sqrt(3) / 2))^2 + (3 * AC^2 / 4)
AN^2 = (4 + (2 * sqrt(3) / 2))^2 + (3 * 2^2 / 4)
AN^2 = (4 + sqrt(3))^2 + 3 * 4 / 4
AN^2 = (4 + sqrt(3))^2 + 3
AN^2 = 16 + 8 * sqrt(3) + 3 + 3
AN^2 = 22 + 8 * sqrt(3)
AN ≈ sqrt(22 + 8 * sqrt(3))

Таким образом, АН ≈ sqrt(22 + 8 * sqrt(3)).