4. диагонали трапеции перпендикулярны. одна из них равна 32. отрезок, соединяющий середины оснований, равен 20. найдите площадь трапеции.

Дано:

АВСD - трапеция.
АС= 32 см
АС⊥ ВD
BL=LC
AM=MD
LM=20 см
Найти площадь АВСD

Сделаем рисунок к задаче.
Из вершины С трапеции параллельно ВD проведем прямую до пересечения с продолжением АD.

Точку пересечения обозначим F.

Так как СF ║ ВD по построению, а ВС параллельна DF , так как параллельна АD, а DF - продолжение АD, то

ВСDF- параллелограмм,  ⇒ ВС= DF.

Рассмотрим треугольники АВС и  СDF.
Они имеют равные основания и равные высоты, которые равны высоте трапеции.  Следовательно, их площади также равны.

Рассмотрим треугольник АСF.
 Его площадь равна площади трапеции, так как
S трапеции =S  ᐃ АВС+S ᐃ ACD, а
S  ᐃ АСF=S ACD+S CDF  
ᐃАВС равновелик ᐃCDF
S  ᐃ АВС+S ᐃ ACD=S ACD+S CDF
S  АВСD= S  ᐃ АСF
Так как диагонали трапециипересекаются под прямым углом,

то СF, параллельная ВD, также перпендикулярна АC.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник АСF, площадь которого равна площади трапеции.

Если из вершины С провести прямую, параллельную LM, до пересечения в точке Р с АD, то она будет равна ей по свойству параллельных отрезков между параллельными прямыми ( в данном случае с прямыми ВС и АD).
 Точка Р отстоит от М на половину расстояния ВС, что равно половине DF.

Т.е. МР=LC= DF:2
АF=AM+MD+DF
PF=MD-M+DF
AP=PF
Cледовательно, СР - медиана прямоугольного треугольника АСF.
По свойству медианы прямоугольного треугольника
СР=АР=PF=20 см
АF=2·CP= 40 см
S ᐃ ACF=AC· CF:2
CF найдем по теореме Пифагора:
CF²= АF²- АС²=1600-1024=576
CF=√ 576=24 см
S ᐃ ACF=32·24:2=480 см²
Так как S ᐃ ACF= S   АВСD,
площадь трапеции АВСD=480 см²