. 30

1) проведен отрезок от точки (1; -1) до точки (-4; 5). до какой точки нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его длина утроилась?

2) точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (1; -3) и квадратом расстояния от точки (2; -1) остается равной 4. найти траекторию точки.

3)написать уравнение эллипса, эксцентриситет которого равен угловому коэффициенту прямой 3х-5у+5=0, а большая ось равна радиусу окружности х2+у2-12х+6у-55=0.

1) Проведен отрезок от точки А (1;-1) до точки В (-4;5). До какой точки нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его длина утроилась?

Разность координат между точками А и В равна (-4-1=-5; 5-(-1)=6) = (-5; 6).

Утроенная разность равна (-5*3=-15; 6*3=18) = (-15; 18).

ответ: координаты точки С, до которой надо продлить отрезок, равны:

С(1-15 = -14; -1+18 = 17) = (-14; 17).

2) Точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (1; -3) и квадратом расстояния от точки (2; -1) остается равной 4. Найти траекторию точки.

Обозначим координаты неизвестной точки как M(x,y). В декартовой системе координат расстояние между точками рассчитывается по формуле   d=√((x2−x1)²+(y2−y1)²) .

Тогда, согласно условию задачи, получаем

|AB² − BM²| = 4 => |(x−xA)²+(y−yA)²− (x−xB)²−(y−yB)²| = 4.

Подставим координаты точек A(1;−3),B(2;-1), получаем

|(x-1)²+(y+3)²− (x−2)²−(y+1)²|=4=> |x²-2x+1+y²+6у+9 − x²-4x−4-y²-2у-1|=4,

| -2x +6у+9 -4x−4 -2у|=4=> |-6x +4y+5|=4.

Раскрыв модуль, получаем уравнения двух параллельных прямых.

ответ: у = 1,5х – (9/4)  и  у = 1,5х – (1/4).  

3)Написать уравнение эллипса, эксцентриситет которого равен угловому коэффициенту прямой 3х -5у + 5 = 0, а большая ось равна радиусу окружности х² + у² - 12х + 6у – 55 = 0.

Находим угловой коэффициент прямой 3х - 5у + 5 = 0.

у = (3/5)х + 1,  к = (3/5) = 0,6.

Уравнение окружности х² + у² - 12х + 6у – 55 = 0 приведём к каноническому виду.

Выделим полные квадраты:  

(х² – 12х + 36) – 36 + (у² + 6у + 9) - 9 - 55 = 0,

(х – 6)² + (у + 3)² = 10². Откуда получаем радиус окружности, равный 10.

Большая полуось эллипса равна а = 10/2 = 5.

Находим расстояние от центра до фокуса эллипса: с = е*а = 0,6*5 = 3.

Теперь можно определить малую полуось: в = √(а² – с²) = √(25 – 9) = √16 = +-4.

ответ: уравнение эллипса (х²/5²) + (у²/4²) = 1