2. Якщо медіани AA, і вв, трикутника АВС
перетинаються в точці М, то яка з даних
рівностей є правильною для будь-якого три-
кутника АВС?
A) AM : MB, = BM : МА;
Б) МА, Емв;
В) МА, Е НАМ;
Г) MB, - вв.​

Добрый день! Для решения этой задачи, давайте вспомним основные свойства медианы в треугольнике.

Медиана в треугольнике - это отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. В данной задаче, мы знаем, что медианы AA и МВ пересекаются в точке М.

Первое свойство, которое нам известно, это то, что медианы треугольника делятся пересекающимся внутренними отрезками на две части, которые соотносятся как 1:1. То есть, отрезок МА делит отрезок МВ на две равные части, и отрезок МВ делит отрезок МА на две равные части. Мы можем записать это как:
МА/МВ = МВ/МА

Это свойство соответствует варианту ответа А: AM : MB = BM : МА.

Однако, существует еще одно свойство медианы, которое также может помочь нам в решении этой задачи. Известно, что медиана делит сторону треугольника на две равные части. То есть, отрезок МА делит сторону ВС на две равные части, и отрезок МВ делит сторону АС на две равные части. Мы можем записать это как:
MA = ME и MB = MC

Это соответствует варианту ответа Б: МА, Емв.

Однако, этого может быть недостаточно для данной задачи, поскольку это свойство работает только в треугольниках, в которых медианы проходят через середины сторон. Если медианы пересекаются в точке, не являющейся серединой стороны, то это свойство может не выполняться.

Поэтому, чтобы ответ был полностью верным для любого треугольника, нам нужно добавить еще одно свойство медианы. Известно, что медианы пересекаются в точке, делящей каждую медиану в отношении 2:1. То есть, отрезок МА делит отрезок АА на две части в отношении 2:1, и отрезок МВ делит отрезок ВВ на две части в отношении 2:1. Мы можем записать это как:
МА/АЕ = МВ/ВЕ = 2/1

Это соответствует варианту ответа В: МА, ЕНАМ.

Наконец, свойство из варианта Г: MB, - вв, нам не известно и его нельзя обосновать или доказать на основе свойств медианы. Поэтому, варианты ответа А, Б и В являются правильными, но при условии, что треугольник АВС удовлетворяет этим свойствам медианы.