№1 Вычислить (a-b)^2, если |a ⃗ |=2√2; |b ⃗ |=4 и угол между векторами (a ) ⃗ и b ⃗ равен 135 градусов. №2 Даны векторы (a ) ⃗=(4; -2;4) и b ⃗(4; -2; -4). Найти угол между векторами (c ) ⃗ и d ⃗ , если (c ) ⃗ = 1/2 (a ) ⃗ и d ⃗=2 a ⃗+b ⃗.

№3 Найти координаты вектора AB и его длину, если А (9; 0; 2), В (7; -1; -5)

№4 Найти скалярное произведение векторов a и b , если |a ⃗ |=1; |b ⃗ |=3 и угол
между ними 60 градусов.

№5 Найти угол между векторами (a ) ⃗ = 2i ⃗ - j ⃗ - k ⃗ и b ⃗ = (1;2;0) .

№1:
Дано: |a ⃗ |=2√2; |b ⃗ |=4; угол между (a ⃗) и (b ⃗) равен 135 градусов.

Чтобы вычислить (a-b)^2, сначала найдем вектор (a-b):
(a ⃗) - (b ⃗) = 2√2 - 4 = -2√2

Теперь возведем этот вектор в квадрат:
(-2√2)^2 = (-2√2) * (-2√2) = 4*2*2 = 16

Ответ: (a-b)^2 = 16

№2:
Даны: (a ⃗)=(4; -2;4); (b ⃗)=(4; -2; -4); (c ⃗) = 1/2 (a ⃗); (d ⃗)=2 (a ⃗)+ (b ⃗).

Найдем векторы (c ⃗) и (d ⃗):
(c ⃗) = 1/2 (4; -2;4) = (2; -1; 2)
(d ⃗) = 2 (4; -2; 4) + (4; -2; -4) = (8; -4; 8) + (4; -2; -4) = (12; -6; 4)

Теперь найдем угол между (c ⃗) и (d ⃗). Для этого воспользуемся формулой скалярного произведения и длины векторов:

cosθ = ((c ⃗) * (d ⃗)) / (|c ⃗| * |d ⃗|)
где θ - искомый угол, * - скалярное произведение, | | - модуль (длина) вектора

(c ⃗) * (d ⃗) = (2 * 12) + (-1 * -6) + (2 * 4) = 24 + 6 + 8 = 38
|c ⃗| = √(2^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3
|d ⃗| = √(12^2 + (-6)^2 + 4^2) = √(144 + 36 + 16) = √196 = 14

cosθ = (38) / (3 * 14) = 38 / 42 = 19 / 21

Теперь найдем сам угол θ. Для этого воспользуемся обратной функцией косинуса:

θ = arccos(19 / 21)

Ответ: угол между (c ⃗) и (d ⃗) равен arccos(19 / 21) (в радианах).

№3:
Дано: A (9; 0; 2), B (7; -1; -5).

Чтобы найти вектор AB, нужно вычесть координаты точки A из координат точки B:
AB = B - A = (7-9; -1-0; -5-2) = (-2; -1; -7)

Чтобы найти длину вектора AB, воспользуемся формулой:

|AB| = √((-2)^2 + (-1)^2 + (-7)^2) = √(4 + 1 + 49) = √54

Ответ: координаты вектора AB равны (-2; -1; -7), а его длина равна √54.

№4:
Дано: |a ⃗ |=1; |b ⃗ |=3; угол между ними 60 градусов.

Чтобы найти скалярное произведение векторов a и b, воспользуемся формулой:

(a ⃗) * (b ⃗) = |a ⃗| * |b ⃗| * cosθ
где θ - угол между векторами

cos60 = 1/2

(a ⃗) * (b ⃗) = 1 * 3 * 1/2 = 1.5

Ответ: скалярное произведение векторов a и b равно 1.5.

№5:
Даны: (a ⃗) = 2i ⃗ - j ⃗ - k ⃗; (b ⃗) = (1;2;0).

Чтобы найти угол между (a ⃗) и (b ⃗), воспользуемся формулой скалярного произведения и длины векторов:

cosθ = ((a ⃗) * (b ⃗)) / (|a ⃗| * |b ⃗|)

(a ⃗) * (b ⃗) = (2 * 1) + (-1 * 2) + (-1 * 0) = 2 - 2 = 0
|a ⃗| = √(2^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √(4 + 1 + 1) = √6
|b ⃗| = √(1^2 + 2^2 + 0^2) = √(1 + 4 + 0) = √5

cosθ = 0 / (√6 * √5) = 0

Теперь найдем сам угол θ. Для этого воспользуемся обратной функцией косинуса:

θ = arccos(0)

Ответ: угол между (a ⃗) и (b ⃗) равен arccos(0) (в радианах).