1 вариант
1. Треугольник со сторонами 12, 20 и 7 существует.
2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3. Если катеты прямоугольного треугольника 6 и 8, то гипотенуза равна 10.
4. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
5. Синус угла это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
6. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов.
7. Диаметр окружности равен двум радиусам.
8. Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равной 13, равна 6,5.
9. Треугольник с углами 25, 75, 90 существует.
10. Площадь треугольника равна произведению основания на высоту.
11. Если центральный угол равен 18 градусов, то вписанный угол, опирающийся на эту же дугу равен 36.
12. Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то центр окружности лежит на гипотенузе.
13. Диагонали ромба равны.
14. Если периметр квадрата равен 20, то площадь 400.
15. Тангенс это отношение синуса к косинусу.
16. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

1. Треугольник со сторонами 12, 20 и 7 существует.
Для того чтобы треугольник существовал, сумма длин двух его сторон должна быть больше третьей стороны. В данном случае, 12+7=19, что меньше 20. Поэтому треугольник с такими сторонами не существует.

2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
В тупоугольном треугольнике хотя бы один угол больше 90 градусов. Поэтому это утверждение верно.

3. Если катеты прямоугольного треугольника 6 и 8, то гипотенуза равна 10.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть 6^2 + 8^2 = 10^2. Проверка показывает, что это утверждение верно.

4. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Диагонали равнобедренной трапеции действительно равны. При этом, можно заметить, что диагонали равны тогда и только тогда, когда сумма оснований равна дважды более короткому основанию.

5. Синус угла это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Синус угла определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. То есть, это утверждение верно.

6. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов.
Действительно, сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов. Параллелограмм имеет противоположные стороны, которые параллельны и равны, поэтому их внутренние углы прилежащие к одной из этих сторон тоже равны.

7. Диаметр окружности равен двум радиусам.
Диаметр окружности это отрезок, проходящий через центр окружности и состоящий из двух радиусов. То есть, диаметр равен двум радиусам. Это утверждение верно.

8. Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равная 13, равна 6,5.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Здесь, половина длины гипотенузы равна 13/2 = 6,5. Поэтому это утверждение верно.

9. Треугольник с углами 25, 75, 90 существует.
Сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусов. В данном случае, 25+75+90=190, что больше 180. Поэтому треугольник с такими углами не существует.

10. Площадь треугольника равна произведению основания на высоту.
Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, проведенную к этой основе. То есть, это утверждение верно.

11. Если центральный угол равен 18 градусов, то вписанный угол, опирающейся на эту же дугу, равен 36 градусов.
Центральный угол вписанной окружности равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Здесь, 18*2=36. Поэтому это утверждение верно.

12. Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то центр окружности лежит на гипотенузе.
Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром этой окружности и проходит через ее центр. Поэтому это утверждение верно.

13. Диагонали ромба равны.
Диагонали ромба действительно равны. Это свойство является следствием того, что диагонали ромба перпендикулярны друг другу и делят ромб на 4 одинаковых прямоугольных треугольника.

14. Если периметр квадрата равен 20, то площадь 400.
Периметр квадрата равен четырем его сторонам. В данном случае, периметр равен 20, что значит каждая сторона квадрата равна 20/4=5. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны, то есть 5^2=25. Поэтому это утверждение неверно.

15. Тангенс это отношение синуса к косинусу.
Тангенс угла определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Это утверждение неверно.

16. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение периметров подобных треугольников действительно равно коэффициенту подобия. Если два треугольника подобны, то их соответственные стороны пропорциональны, и отношение соответственных сторон равно коэффициенту подобия. То же самое справедливо и для периметров. Поэтому это утверждение верно.