1) В квадрате АВСД сторона равна 1. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите
скалярные произведения: а) ⃗АО⃗⃗⃗⃗ ∙ ВД⃗⃗⃗⃗⃗ ; б) ⃗СО⃗⃗⃗⃗ ∙
⃗СД⃗⃗⃗⃗ ; в) ⃗АВ⃗⃗⃗⃗ ∙ ДВ.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2) Найдите угол между векторами а⃗ и 3⃗ , если а⃗ {−1; 3} , ⃗ {2; 1}.
3) Найдите
| + 2⃗ |, если | | = 2√2, |⃗ | = 4, угол между векторами ⃗ и ⃗ равен 135°.

1) Для решения данного вопроса, нам нужно знать определение скалярного произведения векторов и применить его к данной задаче.

a) Скалярное произведение векторов ⃗АО и ВД можно найти по формуле: ⃗АО⃗⃗⃗⃗ ∙ ВД⃗⃗⃗⃗⃗ = |⃗АО| * |ВД| * cos(θ), где |⃗АО| и |ВД| - длины векторов, а θ - угол между ними.

В данной задаче, вектор ⃗АО является диагональю квадрата АВСД, а длина диагонали равна √2 (по теореме Пифагора). Длина вектора ВД также равна √2.

Таким образом, скалярное произведение ⃗АО и ВД будет равно: ⃗АО⃗⃗⃗⃗ ∙ ВД⃗⃗⃗⃗⃗ = √2 * √2 * cos 90° = 2 * cos 90° = 0.

б) Аналогично, скалярное произведение векторов ⃗СО и СД можно найти по формуле: ⃗СО⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗СД = |⃗СО| * |⃗СД| * cos(θ).

В данной задаче, вектор ⃗СО также является диагональю квадрата АВСД и его длина равна √2. Длина вектора ⃗СД равна 1 (со стороны квадрата).

Таким образом, скалярное произведение ⃗СО и ⃗СД будет равно: ⃗СО⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗СД = √2 * 1 * cos 90° = √2 * cos 90° = 0.

в) Наконец, скалярное произведение векторов ⃗АВ и ДВ можно найти по формуле: ⃗АВ⃗⃗⃗⃗ ∙ ДВ = |⃗АВ| * |ДВ| * cos(θ).

В данной задаче, вектор ⃗АВ является одной из сторон квадрата АВСД, его длина равна 1. Длина вектора ДВ также равна 1.

Таким образом, скалярное произведение ⃗АВ и ДВ будет равно: ⃗АВ⃗⃗⃗⃗ ∙ ДВ = 1 * 1 * cos 0° = 1 * cos 0° = 1.

2) Для нахождения угла между векторами а⃗ и 3⃗, нам нужно знать определение скалярного произведения векторов и применить его к данной задаче.

Скалярное произведение векторов можно найти по формуле: ⃗a⃗ ∙ ⃗b = |⃗a| * |⃗b| * cos(θ), где |⃗a| и |⃗b| - длины векторов, а θ - угол между ними.

В данной задаче, вектор а⃗ = {-1, 3} и вектор 3⃗ = {2, 1}.

Длина вектора а⃗ можно найти по формуле: |⃗a| = √((-1)^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10.
Длина вектора 3⃗ можно найти по формуле: |⃗3⃗| = √(2^2 + 1^2) = √(4 + 1) = √5.

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение ⃗а⃗ и 3⃗: ⃗a⃗ ∙ 3⃗ = √10 * √5 * cos(θ).

Приравнивая это скалярное произведение к известному и нам данному значению, мы находим угол θ.

3) Нахождение выражения | | + 2⃗ | основано на знании определения модуля (длины) вектора.

В данной задаче, мы знаем, что |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 2√2 и |⃗⃗⃗| = 4.

Мы также знаем, что угол между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗ равен 135°.

Мы можем использовать известное значение угла и формулу: |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗| = √(|⃗⃗⃗⃗⃗⃗|^2 + |⃗⃗⃗|^2 + 2|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| * |⃗⃗⃗| * cos(θ)), где |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| и |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| - длины векторов, а θ - угол между ними.

Подставляя известные значения, мы получаем: |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗| = √((2√2)^2 + 4^2 + 2 * 2√2 * 4 * cos(135°)).

Упрощая это выражение, мы получаем окончательный ответ.