№1. SO-высота конуса SB=16
Угол S= 90 градусов.
Найти: a) Высоту конуса.
б) Радиус основания конуса.
в) Площадь поверхности конуса.
№2.
Отрезок, соединяющий точку окружности нижнего основания цилиндра с центром верхнего
основания, равен 20 см. Угол между ним и диаметром основания равен 60°. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
№3.Стороны равнобедренного треугольника касаются сферы.
Найдите площадь сферы, если ОО1 = 5 см,
АВ = АС = 20 см, ВС = 24 см.

Добрый день! Давайте решим задачи поочередно.

№1.
a) Чтобы найти высоту конуса, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Из условия задачи известно, что высота конуса равна 16, а угол S равен 90 градусов. Мы знаем, что основание конуса является прямоугольным треугольником и SO является гипотенузой этого треугольника.

Применим теорему Пифагора:
HS^2 = SO^2 - HO^2

где HS - высота конуса, SO - длина гипотенузы, HO - длина катета, проведенного из вершины треугольника к центру основания.

HS^2 = 16^2 - HO^2
HS^2 = 256 - HO^2

Так как у нас есть еще один прямоугольный треугольник SHO с углом S, мы можем применить тангенс:

tg(S) = HO / HS
1 = HO / 16
HO = 16

Тогда подставим значение HO в уравнение:
HS^2 = 256 - 16^2
HS^2 = 256 - 256
HS^2 = 0

Получается, что HS = 0. Значит, высота конуса равна 0.

b) Радиус основания конуса можно найти, зная гипотенузу и катеты прямоугольного треугольника SOB. Так как у нас уже есть значение SO (16), мы можем применить синус угла S:

sin(S) = OB / SO
1 = OB / 16
OB = 16

Таким образом, радиус основания конуса равен 16.

в) Площадь поверхности конуса можно найти, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности. Площадь основания равна площади круга, радиус которого мы уже нашли (16), а площадь боковой поверхности можно найти через площадь сектора окружности.

Площадь основания (S_bottom) = π * r^2
S_bottom = π * 16^2 = 256π

Площадь боковой поверхности (S_side) = π * r * l, где l - образующая конуса. Образующую можно найти по теореме Пифагора, используя радиус основания (16) и высоту конуса (0):

l^2 = r^2 + h^2
l^2 = 16^2 + 0^2
l^2 = 16^2
l = 16

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:
S_side = π * 16 * 16 = 256π

Теперь сложим площади основания и боковой поверхности:
S_total = S_bottom + S_side
S_total = 256π + 256π
S_total = 512π

Ответ: а) Высота конуса равна 0; б) Радиус основания конуса равен 16; в) Площадь поверхности конуса равна 512π.

№2.
Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нужно знать его высоту и радиус основания. Давайте найдем эти значения.

По условию задачи, у нас есть треугольник ABC, в котором угол между отрезком, соединяющим точку окружности нижнего основания цилиндра с центром верхнего основания, и диаметром основания равен 60 градусов. Обозначим этот отрезок как OC (длиной 20 см) и диаметр основания конуса как AB (длиной 2r).

Для начала, найдем радиус основания цилиндра. Из треугольника ABC, мы знаем, что угол BAC = 60 градусов и длина отрезка AB = 2r. Тогда можем применить тригонометрию:

tg(BAC) = r / OC
√3 = r / 20
r = √3 * 20 = 20√3 см

Теперь у нас есть радиус основания цилиндра (20√3) и нам осталось найти его высоту, которая до сих пор неизвестна.

Обозначим высоту цилиндра как h. Тогда отрезок, соединяющий центр нижней окружности с центром верхней окружности цилиндра, будет равен высоте h. Из треугольника ABC, мы знаем, что ∠ABC = ∠BAC = 60 градусов. Тогда треугольник ABC является равносторонним, и все его стороны равны между собой.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике BSC:

BC^2 = BS^2 + SC^2
BC^2 = r^2 + h^2
(2r)^2 - r^2 = h^2
4r^2 - r^2 = h^2
3r^2 = h^2
h = √(3r^2)

h = √(3 * (20√3 см)^2) = √(3 * 3 * 20^2 см^2) = √1800 см = 30√2 см

Таким образом, высота цилиндра равна 30√2 см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра, используя формулу: S_side = 2πrh.

S_side = 2π * (20√3 см) * (30√2 см)
S_side = 40π * √(3 * 2) см^2
S_side = 40π * √6 см^2

Ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра равна 40π * √6 см^2.

№3.
Для решения задачи, нам нужно знать формулу для площади сферы и выразить ее через известные стороны треугольника.

Исходя из условия задачи, стороны равнобедренного треугольника ABC касаются сферы. Проведем радиусы сферы к точкам касания и обозначим их длины как OA, OB и OC. Также известно, что AB = AC = 20 см и ВС = 24 см.

Для начала, найдем радиус сферы. Из прямоугольного треугольника BOC, мы можем применить теорему Пифагора:

OB^2 = OC^2 - BC^2
RA^2 = (OC + AC)^2 - BC^2
RA^2 = (OC + 20)^2 - 24^2
RA^2 = OC^2 + 40OC + 400 - 576
RA^2 = OC^2 + 40OC - 176

Аналогично, из прямоугольного треугольника BOC, мы можем применить теорему Пифагора:

OB^2 = OC^2 - BC^2
RA^2 = (OC + AB)^2 - BC^2
RA^2 = OC^2 + 40OC + 400 - 576
RA^2 = OC^2 + 40OC - 176

Теперь мы имеем два уравнения:

RA^2 = OC^2 + 40OC - 176
RB^2 = OC^2 - 40OC + 176

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от OC^2:

RA^2 - RB^2 = OC^2 + 40OC - 176 - (OC^2 - 40OC + 176)
RA^2 - RB^2 = 80OC

Раскроем скобки и упростим:

RA^2 - RB^2 = 80OC
OC = (RA^2 - RB^2) / 80

Теперь, найдя длину OC, мы можем найти радиус сферы RA, используя первое уравнение:

RA^2 = OC^2 + 40OC - 176
RA^2 = ((RA^2 - RB^2) / 80)^2 + 40((RA^2 - RB^2) / 80) - 176

Полученное уравнение можно решить численно, чтобы найти RA.

Теперь, когда у нас есть радиус сферы (RA), мы можем найти площадь сферы с помощью формулы:
S_sphere = 4πR^2

S_sphere = 4π(RA)^2

Ответ: Площадь сферы равна 4π(RA)^2, где RA - радиус сферы, который можно вычислить численно из уравнения, полученного ранее.