1. равнобокая трапеция mnpt вписана в окружность. угол m при ее основании равен 50°. вычислите величины всех ее углов и образовавшихся дуг, если одно основание равно боковой стороне

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся сначала, что такое равнобокая трапеция. Равнобокая трапеция - это трапеция, у которой боковые стороны равны друг другу.

У нас есть равнобокая трапеция MNPT, в которую вписана окружность.
Мы знаем, что угол M при ее основании равен 50°. Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как O.

Для начала найдем угол TOP. Так как трапеция равнобокая, то угол TOP равен углу M, то есть 50°.

Теперь посмотрим на основания трапеции MN и PT. Поскольку одно из оснований равно боковой стороне, значит MN равно PT. Обозначим эту сторону через а.

Так как трапеция равнобокая, то MT и NP также равны стороне а.

Внутри трапеции можно провести диагонали - это отрезки MO и NO. Из свойств окружности мы знаем, что хорда, проведенная через центр окружности, делит окружность на две равные дуги.

Аналогично, дуги AP и PM равны, так как AM равно PM. Обозначим эти дуги как x и у.

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

У нас есть:

угол M равен 50°,
TOP равен M,
MN равно PT,
MT равно NP.

Чтобы найти углы трапеции, давайте воспользуемся свойством трапеции:

сумма углов при основании равна 180°.

У нас есть угол M, угол MOP и угол TO находятся на основании.
Мы знаем, что сумма углов при основании равна 180°:

M + MOP + TO = 180°.

Так как M равно 50° и TO равно M, подставим значения:

50° + MOP + 50° = 180°.

Вычтем 50° из обеих сторон:

MOP = 180° - 50° - 50°.

MOP = 80°.

Теперь у нас есть угол MOP.

Теперь найдем угол MNO.

Мы знаем, что угол MNO и угол NMO равны, так как MN равен NP.

Угол MNO + угол NMO + угол ONM = 180°.

Так как угол MNO и угол NMO равны, мы получаем:

2 * угол MNO + угол ONM = 180°.

Но нам нужно найти значение только для угла MNO.

Угол ONM - это угол, образующийся около центра окружности, и он равен половине (1/2) суммы образованных дуг AP и PM (y + x) по свойству окружности:

угол ONM = 1/2 * (x + y).

Теперь мы можем записать наше уравнение:

2 * угол MNO + 1/2 * (x + y) = 180°.

Но мы можем записать x и y через а:

угол MNO + а/2 + а/2 = 180°.

Раскроем скобки и упростим:

угол MNO + а = 180°.

Так как угол MNO + а = угол MNO + MN = 180°, мы получаем:

MN = 180° - угол MNO.

Уравнение говорит нам, что сумма угла MNO и MN равна 180°. Подставим значения:

180° - угол MNO + угол MNO = 180°.

Угол MNO сокращается:

180° = 180°.

Таким образом, мы видим, что угол MNO равен 0°.

Теперь у нас есть значения для двух углов трапеции:

угол MOP равен 80°,
угол MNO равен 0°.

Так как трапеция является четырехугольником, сумма углов в ней равна 360°.
Мы можем найти значения для остальных двух углов суммой всех углов трапеции и вычитанием уже найденных значений:

Сумма углов трапеции - угол MOP - угол MNO = угол ONP + угол ONT.

Запишем это уравнение:

360° - 80° - 0° = угол ONP + угол ONT.

Вычисляем:

280° = угол ONP + угол ONT.

Мы знаем, что угол ONP и угол ONT равны, так как MN равно NP и MT равно NO. Обозначим их как угол ON:

2 * угол ON = 280°.

Разделим обе стороны на 2:

угол ON = 140°.

Итак, у нас есть значения всех углов трапеции:

угол MOP равен 80°,
угол MNO равен 0°,
угол ON равен 140°.

Также в условии задачи говорится, что одно из оснований трапеции равно боковой стороне. Пусть это будет основание MN.

Для того, чтобы найти дуги AP и PM, нужно знать, сколько градусов они занимают на окружности.

Мы знаем, что хорда дуги AP, проходящая через центр окружности, делит окружность на две равные части, а радиус, проведенный к середине дуги, перпендикулярен этой хорде.
Аналогично, дуга PM равна дуге AP.

Угол, образованный в центре окружности на такой хорде, в два раза больше угла, образованного той же хордой на окружности. Мы обозначили этот угол как ON в предыдущем ответе.

Так как у нас угол ON равен 140°, угол, который дуга AP занимает на окружности, равен половине этой величины:

угол AP = 140° / 2 = 70°.

Таким образом, мы нашли значение угла угла AP.

Угол, который дуга PM занимает на окружности, равен углу AP, так как это равносторонняя трапеция:

угол PM = угол AP = 70°.

Теперь мы нашли значения всех углов трапеции и дуги, образованные этими углами:

угол MOP равен 80°,
угол MNO равен 0°,
угол ON равен 140°,
угол AP равен 70°,
угол PM равен 70°.