1. Периметр треугольника АВС, описанного около окружности равен 52 см. Точка касания со стороной АВ делит эту сторону в отношении 2:3, считая от вершины А. Точка касания со стороной ВС удалена от вершины С на 6 см. Найдите стороны треугольника.
2. В треугольник с углами 30, 70 и 80 градусов вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике АВС точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 21 см. Найдите радиус окружности если периметр равен 56 см

  1.

  (рис.1)

Обозначим x = AD

AF = AD = x

CF = EC = 6

BE = BD = 1,5x

AB = AD + DB = x + 1,5x = 2,5x

BC = BE + EC = 1,5x + 6

AC = AF + FC = x + 6

P = AB + BC + AC = 2,5x + 1,5x + 6 + x + 6 = 5x + 12

5x + 12 = 52

5x = 40

x = 8

AB = 20 см

BC = 18 см

AC = 14 см

  2.

  (рис.1)

под трёхбуквенными обозначениями подразумевается угол

EDF = EDO + ODF = 90º - EDB + 90º - ADF

EDB = (180º - ABC)/2

ADF = (180º - BAC)/2

после преобразования получим

EDF = (ABC + BAC)/2

по аналогии

DEF = (ABC + ACB)/2

EFD = (BAC + ACB)/2

отсюда получаем углы 55º, 75º, 50º

  3.

  (рис.2)

P = r + r + 4 + 4 + 21 + 21 = 56

2r + 50 = 56

2r = 6

r = 3 см

Объяснение: