1. Основанием правильной пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45º. Найти площадь поверхности пирамиды и ее объем.

2. Найдите площадь поверхности правильной треугольной призмы и ее объем, если сторона основания призмы 4 см, боковое ребро 4 см.

3. Радиус шара равен 4 см. Через конец радиуса, лежащий на сфере, проведена плоскость под углом 30º к нему. Найти площадь сечения шара и его объем.

4. Радиус основания цилиндра, описанного около сферы, равен 2. Найти разность между площадью поверхности цилиндра и сферы.

5. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см, а острый угол 45º , вращается вокруг катета. Найти объём полученного тела вращения.

1. Основанием правильной пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45º. Найдем площадь поверхности пирамиды и ее объем.

Для начала найдем высоту пирамиды. Рассмотрим боковую грань пирамиды и нарисуем высоту, соединяющую вершину боковой грани с плоскостью основания. Также нарисуем прямую, перпендикулярную боковой грани, и плоскость, проходящую через эту прямую и вдоль стороны основания. Мы получим прямоугольный треугольник с углом 45º и стороной 4 см. Зная, что в прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и гипотенузой c, площадь можно найти по формуле S = (a * b) / 2, найдем площадь этого треугольника.

С = (a * b) / 2 = (4 * 4) / 2 = 8 кв.см.

Таким образом, площадь основания пирамиды равна 8 кв.см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность пирамиды состоит из равносторонних треугольников. Найдем площадь одного из таких треугольников.

Площадь треугольника можно найти по формуле S = (a * h) / 2, где a - сторона треугольника, h - высота, опущенная на эту сторону. В нашем случае a = 4 см (сторона основания), а h - это высота пирамиды.

У нас есть прямоугольный треугольник со стороной 4 см и углом 45º. Разделим его на два прямоугольных треугольника: один со сторонами 4 см и h см, второй со сторонами h см и h см. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c, катеты связаны соотношением a = b = c / √2. Подставим значения и найдем высоту пирамиды (h):

4 = 4 = h / √2
h = 4 * √2

Теперь найдем площадь треугольника:

S = (a * h) / 2 = (4 * 4 * √2) / 2 = 8√2 кв.см.

Таким образом, площадь одной боковой поверхности пирамиды равна 8√2 кв.см. У нас есть 4 боковых поверхности, поэтому полная площадь боковой поверхности пирамиды равна 4 * (8√2) = 32√2 кв.см.

Теперь найдем объем пирамиды. Объем пирамиды можно найти по формуле V = (S * h) / 3, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

V = (8 * 4 * √2) / 3 = (32√2) / 3 куб.см.