1) Найдите радиус основания и высоту цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, ребра которой равны 1 см. 2) Найдите радиус основания и высоту цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму, ребра которой равны 1 см.

Хорошо, давайте вместе решим эти задачи!

1) По условию задачи, у нас есть правильная треугольная призма, ребра которой равны 1 см.

Для начала, давайте найдем радиус основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Радиус описанного около призмы цилиндра будет равен радиусу описанной около призмы окружности.

В правильном треугольнике, описанном около окружности, центр окружности находится на пересечении медиан треугольника. Поэтому, радиус описанной около треугольника окружности равен половине длины одного из ребер треугольника.

Длина одного из ребер треугольника равна 1 см, значит, искомый радиус равен 0.5 см.

Теперь давайте найдем высоту цилиндра.

Так как треугольник является правильным, у него все стороны равны между собой.
Поэтому, высота призмы равна высоте равнобедренного треугольника, входящего в ее состав.

Для нахождения высоты равнобедренного треугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора.
Так как равнобедренный треугольник имеет две равные стороны (основание и одно из ребер призмы), высота равнобедренного треугольника является высотой призмы.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

(высота)^2 = (сторона)^2 - (половина основания)^2

Высота = √(1^2 - (0.5^2)) = √(1 - 0.25) = √0.75 ≈ 0.87 см

Значит, радиус основания цилиндра, описанного около призмы, равен 0.5 см, а высота цилиндра равна 0.87 см.

2) Теперь рассмотрим цилиндр, вписанный в правильную треугольную призму, ребра которой также равны 1 см.

Радиус вписанного в призму цилиндра будет равен радиусу вписанной в призму окружности.

В правильном треугольнике, вписанном в окружность, центр окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Поэтому, радиус вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра окружности до стороны треугольника.

Расстояние от центра окружности до стороны треугольника можно найти с помощью формулы для расстояния от точки до прямой:

расстояние = (площадь треугольника) / (периметр треугольника)

Площадь равностороннего треугольника с основанием 1 см равна √3/4 (1^2).

Периметр равностороннего треугольника равен 3 см (3 стороны по 1 см).

Расстояние от центра окружности до стороны треугольника будет равно (√3/4) / 3 ≈ 0.144 см

Теперь давайте найдем высоту цилиндра.

Высота цилиндра вписанного в призму будет равна высоте равностороннего треугольника, входящего в ее состав.

Высота равностороннего треугольника можно найти с помощью формулы для равнобедренного треугольника:

высота = (половина основания) * √3

Половина основания равно (1/2) * 1 см = 0.5 см.

Высота = 0.5 * √3 ≈ 0.866 см

Таким образом, радиус основания цилиндра, вписанного в призму, равен 0.144 см, а высота цилиндра равна 0.866 см.