1. на рисунке 15 mo || np, op = 20 см, pk = 8 см, mn = 15 см. найдите отре- зок nk. 2. треугольники abc и a1b1c1 подобны, причём сторонам ab и ac соответству- ют стороны a1b1 и a1c1. найдите неиз- вестные стороны этих треугольников, ес- ли ab = 12 см, ac = 18 см, a1c1 = 12 см, b1c1 = 18 см. 3. отрезок bm — биссектриса треугольника abc, ab = 30 см, am = 12 см, mc = 14 см. найдите сторону bc. 4. на стороне ab треугольника abc отметили точку d так, что ad : bd = 5 : 3. через точку d провели прямую, которая параллель- на стороне ac треугольника и пересекает сторону bc в точке e. най- дите отрезок de, если ac = 16 см. 5. в трапеции abcd с основаниями ad и bc диагонали пересекаются в точке o, bc = 6 см, ad = 14 см, а отрезок bo на 2 см меньше от- резка od. найдите диагональ bd трапеции. 6. через точку a, находящуюся на расстоянии 5 см от центра окружно- сти радиуса 11 см, проведена хорда, которую точка a делит на отрез- ки, длины которых относятся как 2 : 3. найдите длину этой хорды

1. Чтобы найти отрезок nk, нам нужно использовать свойство параллельных прямых, которое гласит: если две прямые параллельны, то соответственные им отрезки на этих прямых пропорциональны. В данном случае, поскольку mo || np, то мы можем построить пропорцию между отрезками:

mo / np = mk / kp

Для того чтобы использовать эту пропорцию, нам нужно найти значения mk и kp. Мы знаем, что op = 20 см, pk = 8 см и mn = 15 см.

Воспользуемся формулой для нахождения отрезка на прямой с помощью пропорции:

mk = (mn * kp) / np
mk = (15 * 8) / 20
mk = 6

Теперь мы можем продолжить пропорцию:

mo / 20 = 6 / 8

Сокращаем пропорцию:

mo / 20 = 3 / 4

Для нахождения значения отрезка nk, мы можем продолжить пропорцию:

mo / nk = 3 / 4

Теперь нам нужно найти отрезок nk. Мы знаем, что mk = 6 и kp = 8.

Используем формулу для нахождения отрезка на прямой с помощью пропорции:

nk = (mo * kp) / mk
nk = (3 * 8) / 6
nk = 4

Ответ: отрезок nk равен 4 см.

2. Чтобы найти неизвестные стороны треугольников abc и a1b1c1, мы можем использовать свойство подобных треугольников, которое гласит: соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.

В данном случае, мы знаем, что ab = 12 см, ac = 18 см, a1c1 = 12 см и b1c1 = 18 см. Нам нужно найти неизвестные стороны треугольников abc и a1b1c1.

Используем пропорцию:

ab / a1b1 = ac / a1c1

Подставляем известные значения:

12 / a1b1 = 18 / 12

Упрощаем пропорцию:

12 / a1b1 = 3 / 2

Теперь мы можем найти значение стороны a1b1:

a1b1 = (12 * 2) / 3
a1b1 = 8

Аналогично, мы можем использовать пропорцию для нахождения стороны a1c1:

ac / a1c1 = ab / a1b1

Подставляем известные значения:

18 / 12 = 12 / a1b1

Упрощаем пропорцию:

3 / 2 = 1 / a1b1

Теперь мы можем найти значение стороны a1c1:

a1c1 = (3 * 12) / 2
a1c1 = 18

Ответ: сторона a1b1 равна 8 см, а сторона a1c1 равна 18 см.

3. Чтобы найти сторону bc треугольника abc, мы можем использовать свойство биссектрисы треугольника. Оно гласит: если bm - это биссектриса треугольника abc, то отношение длин отрезков ab и ac должно быть равно отношению длин отрезков bm и mc.

В данном случае, мы знаем, что ab = 30 см, am = 12 см и mc = 14 см. Нам нужно найти сторону bc.

Используем пропорцию:

ab / ac = bm / mc

Подставляем известные значения:

30 / ac = bm / 14

Теперь мы можем найти значение отрезка bm:

bm = (30 * 14) / ac

Мы знаем, что ab + bm = am + mc. Подставим известные значения:

30 + bm = 12 + 14

Теперь мы можем найти значение отрезка bm:

bm = (30 + 12 + 14) / 2
bm = 28

Ответ: сторона bc равна 28 см.

4. Чтобы найти отрезок de, мы можем использовать свойство параллельных прямых и соответствующие отрезки.

В данном случае, мы знаем, что ad : bd = 5 : 3 и ac = 16 см. Также, мы знаем, что ad + de = ac.

Используем пропорцию:

ad / bd = de / ec

Подставляем известные значения:

5 / 3 = de / (16 - de)

Теперь мы можем найти значение отрезка de:

5*(16-de) = 3*de

80 - 5de = 3de

8de = 80

de = 10

Ответ: отрезок de равен 10 см.

5. Чтобы найти диагональ bd трапеции abcd, мы можем использовать свойства параллельных прямых и соответствующие отрезки.

В данном случае, мы знаем, что bc = 6 см, ad = 14 см и bo = od - 2 см.

Используем пропорцию:

bc / ad = bo / od

Подставляем известные значения:

6 / 14 = (od - 2) / od

Теперь мы можем найти значение отрезка od:

6*od = 14*(od - 2)
6*od = 14od - 28
28 = 8od
od = 3.5

Мы знаем, что bo = od - 2. Подставим известное значение:

bo = 3.5 - 2
bo = 1.5

Теперь мы можем найти значение диагонали bd:

bd = bc + bo
bd = 6 + 1.5
bd = 7.5

Ответ: диагональ bd равна 7.5 см.

6. Чтобы найти длину хорды, мы можем использовать свойства хорды, проведенной через точку на расстоянии от центра окружности.

В данном случае, мы знаем, что радиус окружности равен 11 см, точка a находится на расстоянии 5 см от центра окружности и отрезок, на которые точка a делит хорду, имеет отношение 2 : 3.

Мы знаем, что для прямоугольного треугольника, составленного из радиуса, хорды и отрезка, на которые хорда делится, выполняется теорема Пифагора:

(хорда/2)^2 = радиус^2 - (отрезок)^2

Мы также знаем, что отношение длин отрезков составляет 2 : 3:

отрезок1 / отрезок2 = 2 / 3

Подставим известные значения:

(хорда/2)^2 = 11^2 - (5^2 / (2^2 + 3^2))^2

Упрощаем пропорцию и вычисляем:

(хорда/2)^2 = 121 - (5^2 / (13))^2
хорда/2 = sqrt(121 - (25 / 169))
хорда = 2 * sqrt(121 - (25 / 169))
хорда = 2 * sqrt((169 * 121 - 25) / 169)
хорда = 2 * sqrt((20449 - 25) / 169)
хорда = 2 * sqrt(20424 / 169)
хорда = 2 * sqrt(120.69)
хорда = 2 * 10.99
хорда = 21.98

Ответ: длина хорды равна 21.98 см.